Напряжения в косых сечениях при растяжении и сжатии
Если напряжение в
косом сечении
то
.
Знаем, что
.
Поэтому
(1)
полное
напряжение в косом сечении.
Разложим на составляющие:
Из схемы
.
Подставляя из (1) сюда
имеем:
(2)
или
(3)
и
являются нормальное и касательное
напряжение в косом сечении.
Главные сечения и главные напряжения. Виды напряженных состоянии
Сечения на которых
касательные напряжения равны нулю
называются главными сечениями. Нормальные
напряжения действующие на этих сечениях
называются главными напряжениями и
обозначаются
.
В каждой точке
сечения имеются три взаимно
главных сечения.
Если:
1. Напряженное состояние называется линейным или одноосным.
2. Напряженное состояние называется плоским или двухосным.
3. Напряженное состояние называется объемным или трехосным.
Напряжения в косых сечениях при плоском напряженном состоянии
Знаем, что
и
Тогда
Из рисунка
Тогда
(1)
(2)
Возьмем
(новое сечение) и вычислим
и
.
Имеем
Из схемы
.
Тогда
(3)
(4)
Сложением (1) и (3) почтенно имеем:
(5)
Это закон сохранения суммы нормальных напряжений.
Сравнивая (2) и (4) получаем:
(6)
Это закон парности касательных напряжений.
Обобщенный закон Гука
Ребра параллелепипеда
находящегося в объемном напряженном
состоянии обозначим 1,2 и 3. найдем
относительные деформации
и
.
Знаем, что
Тогда
(1)
Подставляя эти в (1) получаем:
Аналогично можем
написать для
и
.
Следовательно:
(2)
(2) обобщенный закон Гаука.
Удельная потенциальная энергия упругих деформаций при объемном напряженном состоянии
Потенциальная энергия упругих деформаций равна площади заштрихованного треугольника.
,
для простаты
,
эта энергия при линейном напряженном
состоянии.
если здесь вместо
напишем выражения из обобщенного закона
Гука, после несложных преобразований
получим:
это
удельная потенциальная энергия упругих
деформаций при объемном напряженном
состоянии.
Эта энергия
расходуется на изменение объема и формы
тела:
Для линейного напряженного состояния
.
Теории прочности
Для объяснения причин разрушения тел выдвигают некоторые гипотезы. Эти гипотезы называются теории прочности:
1.Теория наибольших нормальных напряжений.
На практике для пластических материалов не подтверждается поэтому не используется.
2.Теория наибольших относительных деформаций.
Также не подтверждается и не используется.
3.Теория касательных напряжений.
По этой теории материал разрушается тогда, когда касательное напряжение получает максимальное значение.
Поэтому
.
Подтверждается опытами.
Эта теория широко используется.
4.Энергетическая теория
По этой теории
материал разрушается при
.
Знаем, что
при объем и
при линейном напряжений состоянии
.
Подставляя получим:
Эта теория подтверждается опытами, поэтому тоже широко используется.