29. Понятие поля. Свойства потенциального поля.

Определение 1:Полем называется область V пространства, в каждой точке которого определено значение некоторой величины.

Определение 2:Если в каждой точке М из V определена скалярная величина U , то говорят ,что в области V задано скалярное поле. U=F(M)=F(x,y,z)

Определение3:Если в каждой точке М определен вектор F(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, то говорят, что в области V задано векторное поле.

Пусть F(M)- некоторое скалярное поле.

Определение 4:Если в каждой точке М из области V определен вектор gradF, то поле этого вектора называется потенциальным полем.

Само скалярное поле называется потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенциальное поле, называют потенциальным вектором.

Обозначим

тогда .

30. Поток, его приложения.

Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие  , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором  .

Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля  через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода) , где -     единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи.

Непосредственное вычисление потока. Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла, вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции , где - компоненты векторного поля,  - направляющие косинусы вектора нормали.

31. Дивергенция, ее приложения и свойства. Понятие соленоидального поля.

     Свойства дивергенции

     Дивергенция векторного поля в цилиндрических координатах

     Дивергенция векторного поля в сферических координатах

Векторное поле называетсясоленоидальным, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

Если это условие выполняется для любых замкнутых S в некоторой области (по умолчанию - всюду), то это условие равносильно тому, что равна нулю дивергенция векторного поля :

всюду на этой области (подразумевается, что дивергенция всюду на этой области существует).

32. Циркуляция, ее приложения.

     Циркуляция векторного поля вдоль контура l - линейный интеграл вдоль замкнутой линии l:

33. Ротор, его приложения.

или в символическом виде

     Свойства ротора

34. Операторы Гамильтона и Лапласа. Свойства парных комбинаций: div rot a, rot grad u, div grad u.

     Оператор Лапласа в цилиндрических координатах

     Оператор Лапласа в сферических координатах

     Уравнение Лапласа

     Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

     Операции второго порядка

где .

Оператор Гамильтона

Оператором Гамильтонаназывается векторный оператор, который в декартовой системе координат имеет вид:

(6.1)

Как и при пользовании знаком дифференциала, предполагается, что оператор  действует лишь на величины, которые стоят справа от него.

Применяя данный оператор к скалярной функции , получаем:

,

то есть

. (6.2)

Скалярное произведение векторов  и равно:

или

(6.3)

Векторное произведение векторов и равно:

то есть

. (6.4)

2. Применяя оператор к произведению функций, необходимо учитывать, что обладает как векторными, так и дифференциальными свойствами.

При действии дифференциального оператора на произведения двух скалярных функций или скалярной и векторной функций выполняются правила дифференцирования произведения функций и формально сохраняются операции над векторами. В результате имеем:

или  (6.5)

При действии оператора на скалярное или векторное произведение двух векторных функций требуется большая осторожность. Так, при вычислении выражения

(6.6)

необходимо воспользоваться правилом для преобразования смешанного произведения векторов:

(6.7)

Однако операции

и  (6.8)

не могут быть представлены в виде суммы двух членов, в каждом из которых дифференцируется лишь один из сомножителей. В курсе векторного анализа доказывается, что эти выражения могут быть, тем не менее, представлены в виде суммы четырёх членов:

или  (6.9)

или  (6.10)

В частном случае  получим:

(6.11)

3. Применение оператора упрощает нахождение вторых и следующих старших производных от скалярных и векторных величин. Так, например, квадрат вектора равен:

Поэтому, раскрывая смысл произведения  по правилам векторной алгебры, получим:

(6.12)

Оператор  часто обозначается через и называется лапласианом.

Известные формулы векторной алгебры

,  , (6.13)

остаются справедливыми и при замене вектора символическим вектором (при любых и ):

(6.14)

В справедливости (6.12) и (6.14) легко убедиться непосредственным вычислением в декартовых координатах.