7. Решение лнду методом вариации произвольных постоянных.
(метод Лагранжа) решения ЛНДУ.
Сущность
этого метода решения ЛНДУ
состоит в следующем.
Сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ:
,
где
и
линейно независимые решения ЛОДУ.
Полагают,
что
,
и общее решение
ЛНДУ ищутся в том же виде, что и
,
т.е.
.
Составляется и решается следующая система уравнений:
(1)
которая
имеет единственное решение
и
,
так как определитель этой системы
не равен нулю (поскольку
и
- линейно независимые).
Решение системы (1) находится по формулам
Определитель
- называется определителем Вронского
для функций
и
.
Интегрируя
найденные
и
по
находятся
.
Подставляются
найденные
и
в
и записывается общее решение ЛНДУ.
Пример1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Решение.
Находим
общее решение ЛОДУ:
.
Характеристическое уравнение
.
Его корни
.
Общее
решение ЛОДУ :
.
.
Общее решение ЛНДУ ищем в виде
. 
Составим и решим систему уравнений вида (18)
.
Найдем
.
Интегрируя и , находим и :
Подставим и в , найдем решение ЛНДУ:
Ответ:
.
8. Решение лнду с постоянными коэффициентами методом подбора.
Рассмотрим случай линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ЛНДУ
(2),
где a, b, c - действительные постоянные, а
непрерывная на некотором интервале
функция.
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ):
Общее решение y ЛНДУ (2) есть сумма общего
решения y0 соответствующего однородного
уравнения ЛОДУ и любого частного решения
неоднородного уравнения:
Таким образом, чтобы найти общее решение ЛНДУ, нужно найти общее решение соответствующего ЛОДУ и какое-нибудь частное решение ЛНДУ. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.
Частное решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов по виду правой части уравнении.)
Решение ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Рассмотрим случай, когда коэффициенты в уравнении (6.1) постоянны, т.е. уравнение имеет вид:
,
(7.1)
где
.
Рассмотрим метод отыскания частного
решения
уравнения (7.1) в случае, когда правая
часть
имеет специальный вид. Это метод
называется методом неопределённых
коэффициентов и состоит в подборе
частного решения в зависимости от вида
правой части
.
Рассмотрим правые части уравнения (7.1)
следующего вида:
,
где
– многочлен степени
,
причём некоторые коэффициенты, кроме
,
могут равняться нулю. Укажем вид частного
решения в этом случае.
Если число
не является корнем характеристического
уравнения (5.2), то частное решение
записываем в виде:
,
где
– неопределённые коэффициенты, которые
подлежат определению методом неопределённых
коэффициентов.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Для уравнения
составляем характеристическое уравнение:
.
Откуда получаем
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения есть
.
Правая часть заданного уравнения
имеет специальный вид (случай 1), причём
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому частное решение ищем
в виде:
,
где A, B – неопределённые коэффициенты.
Найдём производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:
.
Сократим обе части на
и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях x
в левой и правой частях равенства:
Из полученной системы уравнений находим:
.
Тогда
,
а общее решение заданного уравнения
есть:
.сли
является корнем кратности
соответствующего характеристического
уравнения, то частное решение ищем в
виде:
,
где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат дальнейшему определению.