5. Уравнение высших порядков допускающие понижение порядка.

Уравнение где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.

Рассмотрим уравнения вида С помощью замены , где u - новая неизвестная функция, уравнение (2) приводится к уравнению (n-k) -го порядка: .

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

В это уравнение явно не входит неизвестная функция. Следовательно, полагая получим дифференциальное уравнение первого порядка Разделяя переменные и интегрируя, имеем Переходя к старым переменным, получим дифференциальное уравнение интегрируя которое, получим

2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Рассмотрим уравнения вида С помощью замены - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения (3) понижается на единицу, так как , ,

Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:

При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (3) решений такого вида.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Уравнение не содержит явно переменную x, делая замену , уравнение запишется в виде Отсюда находим Из первого из двух последних уравнений получаем y=C, а из второго имеем , или , откуда Интегрируя, находим

Окончательно имеем где - новая произвольная постоянная.

3. Уравнения, однородные относительно

Рассмотрим уравнения вида где F является однородной с показателем m относительно , т.е.

С помощью замены , где u - новая неизвестная функция, порядок уравнения (4) понижается на единицу. Имеем

, , Данная подстановка дает дифференциальное уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции u:

.

4. Обобщенно - однородные уравнения.

Рассмотрим уравнения вида

Уравнение (5) называется обобщенно - однородным, если существуют числа k и m такие, что С помощью замены (при x<0 полагаем ) , где t - новая независимая переменная, u - новая искомая функция, уравнение (5) приводит к уравнению, не содержащему независимой переменной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на единицу (см. п. 2).

Производные при данной замене преобразуются по формулам

,

Подстановка последних равенств в (5) дает уравнение вида которое явно не содержит независимую переменную t.

5. Уравнение в точных производных.

Рассмотрим уравнения вида левые части которых являются точными производными от некоторой функции , т.е. Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

Имеем откуда следует, что или Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид .