34.Неперервність ф-ції. Властивості неперервних ф-цій. Точки розриву ф-цій та їх класифікація.

Функція називається неперервною в точці х0 якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

Основні властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці х0, то в цій точці будуть неперервними і функції , .

Теорема 2. Якщо і є неперервними в точці х0 і , то в точці х0 є неперервною також і функція .

Теорема 3. Нехай ф-ція неперервна на проміжку і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція є монотонною на то вона перетворюється на 0 тільки один раз..

35. Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної. Її геометричний та механічний зміст.

Під диференціальним числом розуміємо математичне знаходження похідної. До понять похідної приводять задачі економічного, фізичного та геометричного змісту.

1)Економічний зміст – знаходження продуктивної праці

V(t)=Lim(ДЕЛЬТА прямує до 0)дельтаU(t)/дельтаt=U’ (t)-границя кількості випущеної продукції за певний проміжок часу.

2)фізичний зміст- полягає в знаходженні миттєвої швидкості дельта (t)=lim(дельта прямує до 0) дельтаS/дельтаt=S’ (t)-це границя відношення шляху до часу.

3)границя кутового коефіцієнта- k=tga=lim(дельта x –do0) дельтаtx/дельтаx=f(x)-приріст функції

до приросту аргументу , коли f прямує до 0.

36 Правила диференціювання

Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами: - Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків. - Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника. - Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.- Похідна сталої дорівнює нулю.- Похідна алгебраїчної суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій

37Похідні основних елементарних функцій:

(C)' = 0, де С - деяка стала;

(x)' = 1;

(ex)' = ex; (xn)' = n•xn - 1;

(sin x)' = cos x;

(cos x)' = -sin x.

38 диференціал

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Внаслідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різноманітних процесів і явищ. З правил знаходження похідної випливають правила знаходження диференціала. Якщо функції  ,   -диференційовні в точці х, то 1)  2)  . Зауваження.  , де  .  3)  ,  .

39 привила знах диференц

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних. Якщо функція f має похідну в точці  , а функція g має похідну в точці  , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці  . Приріст функції і диференціал функції відрізняються один від одного на малу величину а-Ах.

Приклад 4. Обчислити наближене значення приросту функції}>=х2+2х+5 при зміні арг’ментувідх=2 дох=2,001.Розвязання: Знаходимо диференціал аргументу dx =Дх =2,001 - 2=0,001. Приріст аргумешу малий, тому приріст функції Ау наближено дорівнює його диференціалу dy.

40 зрост та спад функц

Проміжки на яких функція зростає чи спадає ще називають проміжками монотонності.

Достатня умова зростання (спадання) функції. Якщо f '(x) > 0 в кожній точці проміжку (а;b), то функція у = f(x) зростає на (а;b), якщо f '(x) < 0 в кожній точці проміжку (а;b), то функція у = f(x) спадає на (а;b).

Важливим є також поняття критичної точки. Критичними точками функції називають внутрішні точки області визначення, в яких похідна не існує або дорівнює нулю.

Для дослідження функції у = f(x) на зростання, спадання, доцільно використовувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції f '(x).

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f ‘(x) не існує та розв’язки рівняння f ‘(x) = 0.

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f (х) та знаходимо знак похідної f '(x) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку).

5) Робимо висновок (відповідь).

41 монот та екстем ф цій

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

Екстремум– найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

42 побуд графіка

Щоб побудувати графік заданої функції, треба спочатку дослідити поведінку функції, визначити особливості її графіка.Досліджуйте функцію за такою схемою:

1. Знайдіть область визначення функції.

2. Дослідіть функцію на парність або непарність (якщо функція парна, можна побудувати її графік у правій координатній півплощині і відобразити симетрично відносно осі ординат у ліву півплощину; якщо функція непарна, то треба відобразити симетрично відносно початку координат);

3. Знайдіть точки перетину графіка функції з віссю абсцис. Для цього розв’яжіть рівняння, в лівій частині якого задана функція, а в правій – нуль.

4. Знайдіть точки розриву функці

5. Знайденими точками розбийте область визначення функції на проміжки і визначте знаки функції на кожному з проміжків.

6. Визначте поведінку функції навколо точок розриву і на нескінченності та знайдіть асимптоти графіка функції.

7. Знайдіть похідну функції і дослідіть її на монотонність.

8. Знайдіть точки екстремуму функції.

9. Дослідіть ф-цію на точки перегину (для уточнення поведінки, якщо це потрібно).

10. Складіть таблицю значень функції та її похідних.

11. Побудуйте ескіз графіка функції, враховуючи проведене дослідження