Критерии оптимизации

В качестве критерия оптимизации могут выбираться различные экономические и технико-экономические параметры.

При оптимизации статики и установившихся режимов работы многомерных объектов критерии оптимизации формулируются как некоторая функция, характеризующая качество работы объекта.

В качестве критерия оптимизации (на высших уровнях АСУТП) может применяться ф-ция пользы, которая представляет собой некоторую сумму:

1)  max

X – вектор координат состояний объекта

Y – вектор выходных состояний объекта

U – вектор управляющих воздействий

2) максимум прибыли

 max

g – цена

П – производительность

S – затраты

3. минимум потерь

 min

X_i(t) – реализуемая переменная технологического процесса

S_i – стоимость потерь от нестабильности i-ой переменной

Во многих случаях качество работы АСУТП оценивается несколькими критериями, часть из которых противоречива. Тогда либо формируют векторный критерий либо используют один показатель качества, а на остальные накладывают ограничения.

Векторный критерий оптимизации:

От векторного критерия переходят к обобщенному скалярному:

С_i – коэффициент, отражающий вклад частного критерия в общий скалярный

Наиболее распространенными критериями оптимизации на уровне САР являются:

1. обеспечение максимального быстродействия

 min

2. максимальная точность

 min

При использовании в качестве функционала этого критерия в системе возникают процессы с большим перерегулированием

3)  min

λ – коэффициент, ограничивающий скорость переходного процесса, т.е. величину перерегулирования.

4) для стохастических систем в качестве критерия оптимизации можно использовать среднее значение квадрата ошибки

 min

5. расход энергии на управление

 min

5. если используются механические источники энергии

 min

U(t) – управляющее воздействие

– скорость изменения выходного сигнала

5. если на объект управления действуют возмущения (контролируемые и неконтролируемые), то в качестве критерия принят функционал, характеризующий взаимную корреляцию между выходом и возмущением:

 min

В общей постановке задачи оптимизации минимизируемый функционал детерминированных систем можно записать в следующем виде:

 min

– функция, характеризующая качество в конечный момент времени, т.е. после завершения переходного процесса.

F – подынтегральная функция функционала качества (характеризует динамику).

Принцип максимума л.С. Понтрягина. Оптимальные по быстродействию системы, структурные схемы таких сау

В большинстве практических задач оптимизации объекта экстремум функционала качества обеспечивается при управлении, имеющем разрывы 1-го рода.

При этом координаты объекта также могут иметь разрывы 1-го рода, положение и число которых не известно.

Решение таких задач методом классического вариационного исчисления проблематично, поэтому используют принцип максимума Понтрягина.

Сущность принципа максимума:

При заданной модели объекта в форме системы уравнений Коши и заданных ограничениях на управление следует найти вектор оптимальных управляющих воздействий, которые обеспечивают минимум функционала качества. Для решения задачи вводится дополнительная функция ψ:

и записывается функция Гамильтона для неклассической вариационной задачи:

Оптимальное управление находится по частной производной:

Каноническое уравнение Гамильтона для решения задачи записывается в следующей форме:

Если существует оптимальное управление, принадлежащее к классу допустимых управлений , то соответствующая этому управлению функция должна проходить через фиксированные начальную и конечную точки и .

Теорема Понтрягина:

для того, чтобы управление было оптимальным, необходимо существование такой ненулевой вектор-функции ψ(t), существующей в силу системы уравнений Гамильтона и соответствующих функций x(t) и u(t), которая в интервале времени при оптимальном управлении обеспечит максимум Н^*-функции.

Причем в конечный момент времени Н*-функция равна нулю:

Наиболее удобно решать этим методом задачи на оптимальное быстродействие.

Принцип максимума сводит решение задачи к решению в (2n+r+2)-мерном пространстве дифференциальных уравнений.

В большинстве случаев . в этом случае Н*-функцию можно записать следующим образом при функционале качества, определяющем максимальное быстродействие:

,

где G – система уравнений объекта в форме Коши.

На основании принципа максимума для линейных объектов управление можно выбирать:

– релейное управление

Из принципа максимума следует, что оптимальным по быстродействию является релейное управление, но не обычное, а с принудительным переключением реле.

В этом случае в системах оптимального по быстродействию системах схему управляющего устройства можно представить следующим образом:

- функция переключения реле в зависимости от ошибки ее производных (она может быть записана в форме функции фазовых координат ).