12.8.2. Построение оптимизационных моделей на примере экономики Приморского края.

1. Максимизация внутреннего конечного спроса (или конечного потребления) в заданном ассортименте - модель (12.8.1)-(12.8.4) [51].

Пример 1. (Модель Приморского края за 1999 год)

Проиллюстрируем оптимизационную модель (12.8.5)-(12.8.9), используя для расчетов исходный межотраслевой баланс, структура которого представлена в [52]. Матрицы затрат и ограничения по ресурсам представим ниже. В составе внутреннего конечного спроса зафиксируем у₁ = 12000 тыс. руб., поскольку нет особого смысла стремиться к увеличению использования сырья сверх нормативных потребностей. Вектор  будет включать положительные компоненты ₂ = 0,72 и ₃ = 0,28. Вектор Q будет включать фиксированное сальдо внешних связей и у₁ = 12000, т. е.:

= , Q = , N = .

Переходим к следующей задаче, соответствующей (2.5.3):

z max, (12.8.14)

0.927x₁ - 0.253x₂ - 0.150x₃  30425.2, (12.8.15)

-0.048x₁ + 0.832x₂ - 0.188x₃ –0.78z  -6580.4, (12.8.16)

-0.121x₁ - 0.168x₂ + 0.962x₃ –0.28z  5948.3, (12.8.17)

x₁51000, x₂53000, x₃36000, x₁, x₂, x₃, z  0, (12.8.18)

Решаем эту задачу в системе Matlab – версия 6.1. М-файл решения задачи линейного программирования (12.8.14)-(12.8.18) представлен в Приложении 8.

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

X^* ={x₁^* = 51000, x₂^* = 45936, x₃^* = 35058, z^* = 49626}.

b = (I - A )^-1 = ; (I - A )^-1Q = ; N₁ = .

Максимальное значение (величина максимизируемого внутреннего конечного спроса) z^* = 49626; Y₃ = 35731, Y₂ = 13895.

Оптимальные значения переменных: x₁^* = 51000, x₂^* = 45936, x₃^* = 35058.

Отметим, что потребность в трудовых ресурсах составляет 933 тыс. чел., что меньше имеющегося ресурса (1000 тыс. чел.).

Двойственная переменная задачи имеет следующее оптимальное значение U₁^* = 2,81. Увеличение производственной мощности на "малую" единицу позволяет увеличить максимизируемую переменную z^* на 2,88 единицы.

Рассмотрим теперь модификацию модели с критерием максимизации конечного потребления. В данном случае меняются значения векторов и Q. Вектор теперь будет характеризовать структуру конечного потребления, а вектор Q - дополнительно включать валовое накопление.

В результате решения задачи получим: z^* = 50789, y₂ = 18792, y₃ = 31997. Т. о. Величина максимизируемого конечного потребления равна 50789 тыс. руб. Она лимитируется производственной мощностью отрасли "Добыча". Весь объем конечного потребления, включая зафиксированные 12000 по отрасли "Добыча" составляет 62789 тыс. руб. Сравнивая эту величину с объемом конечного потребления в исходном МОБе, находим выигрыш от оптимизации: 16%. Оптимальные значения переменных: Х₁ = 51000, Х₂ = 34413,8, Х₃ = 54416,5.

Теперь предположим, что общим ограниченным ресурсом является труд. Для того, чтобы временно отключить действия ограничений по производственным мощностям, примем N₁ = 51500. В результате этой корректировки лимитирующим ресурсом становится труд, а не производственные мощности. В результате расчетов получим следующие данные: z^* = 54371, x₁^* = 52687, x₂^* = 50690, x₃^* = 37481. По сравнению с предыдущим оптимальным решением на максимум конечного спроса целевой показатель увеличился на 3582, объемы выпусков также увеличились. Оптимальная оценка труда составляет 66,23; это означает, что при увеличении лимита трудовых ресурсов на единицу величина максимизируемого конечного спроса возрастет на 66,23.

Пример 2. (Модель Приморского края за 2003 год – вариант 1)

Проиллюстрируем оптимизационную модель (12.8.1)-(12.8.4), используя для расчетов исходный межотраслевой баланс (см. в [52]).

Матрицы затрат и ограничения по ресурсам полностью сохраняется.

В составе внутреннего конечного спроса зафиксируем у₁ = 12000 тыс. руб., поскольку нет особого смысла стремиться к увеличению использования сырья сверх нормативных потребностей. Вектор  будет включать положительные компоненты ₂ = 0,72 и ₃ = 0,28. Вектор Q будет включать фиксированное сальдо внешних связей и у₁ = 12000, т. е.:

= , Q = , N = .

Переходим к следующей задаче, соответствующей (2.5.3):

z max, (12.8.19)

0.9 x₁ - 0.27 x₂ - 0.16 x₃  33200, (12.8.20)

-0.05 x₁ + 0.84 x₂ - 0.2 x₃ –0.78z  -7600, (12.8.21)

-0.14 x₁ - 0.15 x₂ + 0.93 x₃ –0.28z  11900, (12.8.22)

x₁66000, x₂50000, x₃76000, x₁, x₂, x₃, z  0. (12.8.23)

Решаем эту задачу в системе Matlab – версия 6.1. М-файл решения задачи линейного программирования (12.8.19)-(12.8.23) представлен в Приложении 8.

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

X^* ={x₁^* = 59990, x₂^* = 50000, x₃^* = 45567, z^* = 52066}.

Пример 3. (Модель Приморского края за 2003 год – вариант 2)

Проиллюстрируем оптимизационную модель (12.8.19)-(12.8.23), предполагая, что конечный спрос представляет сумму отраслей:

z= y₁ + y₂ + y₃.

В итоге задача примет следующий вид:

(y₁ + y₂ + y₃) max, (12.8.24)

0.9 x₁ - 0.27 x₂ - 0.16 x₃ - y₁  0, (12.8.25)

-0.05 x₁ + 0.84 x₂ - 0.2 x₃ - y₂  0, (12.8.26)

-0.14 x₁ - 0.15 x₂ + 0.93 x₃ - y₃ 0, (12.8.27)

x₁66000, x₂50000, x₃76000, (12.8.28)

x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃  0,

Решаем эту задачу в системе Matlab – версия 6.1. М-файл решения задачи линейного программирования (12.8.24)-(12.8.28) представлен в Приложении 8.

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

X^* ={x₁^*= 66000, x₂^*=50000, x₃^*=76000, y₁^*=33740, y₂^* =23500, y₃^*= 53940},

z^* =y₁+ y₂ + y₃ = 111180.

Сравнивая результаты решения примеров 2 и 3 видим, что во втором случае загрузка отраслей значительно выше и это говорит о потенциальных возможностях оптимизационных методов.

Пример 4. (Модель Приморского края за 2003 год – с критерием максимизации конечного потребления)

Рассмотрим теперь модификацию модели с критерием максимизации конечного потребления.

В данном случае меняются значения векторов  и Q. Вектор  теперь будет характеризовать структуру конечного потребления, а вектор Q - дополнительно включать валовое накопление.

Вектор  будет включать положительные компоненты ₂=0,72 и ₃=0,28.:

= , Q = , N = .

Переходим к следующей задаче, соответствующей (12.8.10)-(12.8.13):

z max , (12.8.29)

0.9 x₁ - 0.27 x₂ - 0.16 x₃  33200, (12.8.30)

-0.05 x₁ + 0.84 x₂ - 0.2 x₃ –0.6667z  -2700, (12.8.31)

-0.14 x₁ - 0.15 x₂ + 0.93 x₃ –0.3333z  16100, (12.8.32)

x₁66000, x₂50000, x₃76000, x₁, x₂, x₃, z  0, (12.8.33)

Решаем эту задачу в системе Matlab – версия 6.1. М-файл решения задачи линейного программирования (12.8.29)-(12.8.33) представлен в приложении 7.

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

X^* ={x₁^* = 61031, x₂^* = 50000, x₃^* = 51423, z^* = 47043}.

Пример 5. (Модель векторной оптимизации)

В задачах векторной оптимизации имеется множество целей (критериев), по которым выполняется совместная оптимизация. В качестве алгоритма решения в [1] предложен метод аддитивного критерия, а в этой работе для решения векторной задачи математического программирования развивается метод, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированного результата.

Критериями являются конечный спрос агрегированных отраслей, которые в совокупности представляют векторный критерий: Y={y_j, j= }.

Ограничениями являются, во-первых, межотраслевой баланс, во-вторых, ресурсные ограничения и ограничения по производственным мощностям.

С учетом сказанного, векторная задача, моделирующая развитие экономики региона на планируемый период, примет вид:

opt Y = {max y_j, j= }, (12.8.34)

(I - A)X - Y 0, (12.8.35)

RХ B, (12.8.36)

0 X M, (12.8.37)

Y 0, (12.8.38)

где (12.8.34) – представляет векторный критерий максимизации конечного спроса, (12.8.35) – межотраслевые балансовые ограничения, (3.6.3)– ограничения по ресурсам, (12.8.36) – ограничения по мощностям отраслей, (12.8.37) – не отрицательность конечного спроса отраслей.

Для Приморского края эта модель, предполагая, что общим ограниченным ресурсом является труд, примет вид:

opt Y = {max y₁, max y₂, max y₃}, (12.8.39)

0.9 x₁ - 0.27 x₂ - 0.16 x₃ - y₁  0, (12.8.40)

-0.05 x₁ + 0.84 x₂ - 0.2 x₃ - y₂  0, (12.8.41)

-0.14 x₁ - 0.15 x₂ + 0.93 x₃ - y₃ 0, (12.8.42)

0,0032x₁ + 0,0107x₂ + 0,010x₃  1.4, (12.8.43)

x₁66000, x₂50000, x₃76000, (12.8.44)

x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃  0,

Решаем эту задачу в системе Matlab – версия 6.1. М-файл решения задачи линейного программирования (12.8.39)-(12.8.44) представлен в Приложении 8.

Результаты решения векторной задачи представим в виде последовательности шагов.

Шаг 1. Решаем задачу (12.8.39)-(12.8.44) по каждому критерию отдельно.

Результаты решения по первому критерию: f = 55874.

X ={x₁^*= 66000, x₂^*= 6546, x₃^*=10991, y₁^*=55874, y₂^* =0.0, y₃^*= 0.0},

Результаты решения по второму критерию: f = 39034.

X ={x₁^*= 16886, x₂^*= 5.0000, x₃^*=1.0606, y₁^*=0.0, y₂^* =3.9034, y₃^*= 0.0},

Результаты решения по третьему критерию: f = 65094.

X ={x₁^*= 19284, x₂^*= 19243, x₃^*=7.6000, y₁^*=0.0, y₂^* =0.0, y₃^*= 6.5094},

Шаг 2. Строится -задача.(Заметим, f^o=0)

max ,

 - y₁/f  0, (12.8.45)

 - y₂/f  0, (12.8.46)

 - y₃/f  0, (12.8.47)

0.9 x₁ - 0.27 x₂ - 0.16 x₃ - y₁  0, (12.8.48)

-0.05 x₁ + 0.84 x₂ - 0.2 x₃ - y₂  0, (12.8.49)

-0.14 x₁ - 0.15 x₂ + 0.93 x₃ - y₃ 0, (12.8.50)

0,0032x₁ + 0,0107x₂ + 0,010x₃  1.4, (12.8.51)

x₁66000, x₂50000, x₃76000, (12.8.52)

x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃  0, (12.8.53)

Шаг 3. Решается -задача (12.8.47)-(12.8.53).

В результате решения получим оптимальные значения переменных:

X^o ={x₁^o= 36098, x₂^o= 26777, x₃^o=34483, y₁^o=19741, y₂^o =13791, y₃^o= 22999},

^o = 0.3533.

₁(X^o)=f₁(X^o)/f =19741/55874= 0.3533.

₂(X^o)=f₃(X^o)/f =13791/39034= 0.3533.

₃(X^o)=f₃(X^o)/f = 22999/65094= 0.3533.

Таким образом, все критерии (отрасли – конечный спрос) подняты до максимально возможного уровня. Любое улучшение одного из критериев приводит к ухудшению других критериев (отрасли), т.е. решение оптимально по Парето.