5.4.5. Построение модели рынка монопсонии

Для анализа рыночной струк­туры монопсонии рассмотрим представленную модель, когда на рынке с одним товаром (две модификации) действуют два производителя и один потребитель этого продукта, хотя модель позволяет анализировать и более крупные.

Дано. Числовые данные аналогичны модели олигополии. Но в этой задаче будет один два производителя, выпускающих продукты.

Взаимосвязь спроса и предложения решена аналогично, как и для модели олигополии, т. е. в модели (5.4.6)-(5.4.10) с предлагаемыми числовыми параметрами, предложение превышает спрос, хотя модель может быть использована и при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Построить оптимизационную модель рынка монопсонии и рассчитать объемы спроса-предложения.

Построение математической модели рынка - монопсонии с одним производителем и двумя потребителями в виде векторной задачи линейного программирования представим следующим образом:

opt F(X)={max f₁(X) =10x₁+10x₂, max f₂(X)=10x₃+10x₄, (5.4.36)

min f₃(X) = 50x₁ + 50x₂+ 60x₃+ 60x₄}, (5.4.37)

при ограничениях

7000 ≤ 50x₁+ 50x₂+60x₃ +60x₄ ≤ 10000, (5.4.38)

40x₁+ 40x₂ ≤ 5000, 50x₃+ 50x₄ ≤ 5000, (5.4.39)

x₁, x₂, x₃, x₄  0. (5.4.40)

Исследование модели монопсонии, представленной в виде векторной задачи (5.4.36)-(5.4.40), проведем с учетом целенаправленности двух производителей и одного потребителя.

Решение векторной задачи (5.4.36)-(5.4.40) при равнозначных критериях.

Шаг 1,2. Решаем задачу (5.4.36)-(5.4.40) по каждому критерию.

Сначала для двух производителей предоставляются наиболее благоприятные условия, т. е. при оптимизации учитываются только их целенаправленность и ограничения, накладываемые на их производственную деятельность, в результате решения получим оптимальные объемы продукции, которые в принципе может выпустить первый и второй производитель, - X , X с соответствующей прибылью f =f₁(X ), f =f₂(X ):

X ={x₁=62.5, x₂=62.5, x₃=0.4487, x₄=60.8435}, f₁(X )=1250,

X ={x₁=10, x₂=10, x₃=50, x₄=50}, f₁(X )=200.

X ={x₁=30.98, x₂=30.98, x₃=50, x₄=50}, f₂(X )= 1000,

X ={x₁=62.5, x₂=62.5, x₃=6.25, x₄=6.25}, f₂(X )= 125.

Создаются благоприятные условия для потребителя, т. е. решается векторная задача (5.4.36)-(5.4.40) с критерием (5.4.37). В результате решения получим точку оптимума X и соответственно f₃(X ):

X ={x₁=35.28, x₂=35.28, x₃=28.93, x₄=28.93}, f₃(X )=7000,

X ={x₁=51.3165, x₂=51.3165, x₃=40.5696, x₄=40.5696}, f₃(X )=10000.

Шаг 3. Выполняется стандартная нормализация критериев и анализ оптимальных результатов решения, полученных по каждому критерию:

f^* = f₁(X )=1250.0 f₂(X )=612.9 f₃(X )=9927.5

f₁(X )=619.7 f₂(X )=1000.0 f₃(X )=9098.6

f₁(X )=705.6 f₂(X )=578.6 f₃(X )=7000.0.

l^* = l₁(X )=1.0000 l₂(X )=0.5576 l₃(X )=0.0242

l₁(X )=0.3997 l₂(X )=1.0000 l₃(X )=0.3005

l₁(X )=0.4815 l₂(X )=0.5185 l₃(X )=1.0000

Шаг 4. Построение l-задачи. Она по своей структуре аналогична задаче (5.4.26)-(5.4.30).

Решение l-задачи.

l^o = 0.6111, X^o ={x₁=42.0833, x₂=42.0833, x₃= 32.9861, x₄= 32.9861}.

f₁(X^o) =841.7, l₁(X^o) =0.6111,

f₂(X^o) =659.7, l₂(X^о) =0.6111,

f₃(X^o) =8166.7, l₃(X^o) =0.6111.

r₁ =8166.7, r₂=3366.7, r₃=3298.6.

Точка X^o оптимальна по Парето - любое улучшение (увеличение) одного из них приводит к ухудшению другого.

Моделирование рынка - монопсонии при приоритете потребителей.

Решаем векторную задачу (5.4.36)-(5.4.40) при заданном приоритете второго и третьего критерия (потребителей) над первым критерием (производителем). Задаем вектор приоритетов P¹={p =1, p =1, p =1.3512}, который вставляется в l-задачу. В результате решения l-задачи при заданных приоритетах критериев получаем точку оптимума X^o, f_k(X^o), k= и максимальную относительную оценку l^o.

l^o = 0.6486, X^o ={x₁=44.05, x₂=44.05, x₃=34.31, x₄=34.31}.

f₁(X^o) =881.0, l₁(X^o) =0.6486,

f₂(X^o) =692.5, l₂(X^o) =0.6486,

f₃(X^o) =856.0, l₃(X^o) =0.4800.

l^o =p l₁(X^o)=l₂(X^o)=l₃(X^o)=0.6486,

Моделирование рынка-монопсонии при приоритете производителя.

Решается векторная задача (5.4.36)-(5.4.40) при заданном приоритете первого критерия над вторым и третьим критерием (потребителями).

Задается вектор приоритетов P¹={p =1.3512, p =1.3512, p =1}, который вставляется в l-задачу. В результате решения l-задачи при заданных приоритетах критериев получаем точку оптимума X^o, f_k(X^o), k= и максимальную относительную оценку l^o.

l^o = 0.7660, X^o ={x₁=39.76, x₂=39.76, x₃=31.05, x₄=31.05}.

f₁(X^o) =795.2, l₁(X^o) = 0.5669,

f₂(X^o) =621.0, l₂(X^o) = 0.5669,

f₃(X^o)=7702.1, l₃(X^o) = 0.766.

l^o = p l₁(X^o) = l₂(X^o) = l₃(X^o) = 0.766.

Полученный результат решения совпадает с моделью олигополии.