discrete_mathematics
.pdf
У лівій секвенції 0 A( y), 1 A(x), 0 B(x), 0 B( y), 0 xB(x) є неатомарна формула 0 xB(x), але застосування правила 0 не змінює
секвенцію. Отже, секвенція не є замкненою. Щоб отримати контрприклад, будуємо модель із двома константами a та b, вважаючи їх відповідно значеннями x та y. Секвенція визначає значення базових предикатів A та B:
A(b) = 0, A(a) =1, B(a) = 0, B(b) = 0.
Будуємо таблицю, яка задає модель (інтер- |
|
z |
A(z) |
B(z) |
|
a |
1 |
0 |
|
претацію предикатних символів): |
|
|||
|
b |
0 |
0 |
|
Обчислимо значення формули |
|
|||
|
|
|
|
|
x(A(x) → B(x)) → (A(x) → xB(x)) |
|
|
|
|
у такій моделі, вважаючи a значенням x. У цій формулі головною операцією є імплікація, тому обчислюємо значення антеце-
дента x(A(x) → B(x)) |
і консеквента. Головною операцією ан- |
тецедента є квантор |
існування, тому обчислюємо формулу |
A(x) → B(x) за значень x, рівних a та b. Маємо, що |
|
A(a) → B(a) = 0 та A(b) → B(b) =1. |
|
Отже, значення x(A(x) → B(x)) дорівнює 1. |
|
Тепер обчислюємо консеквент |
|
|
A(x) → xB(x). |
Тут А(х) отримує значення 1, а xB(x) – значення 0. Тому |
|
A(x) → xB(x) |
матиме значення 0, як і вся формула в цілому. |
||||||||||
Таким чином, формула спростовна. |
|
|
|
||||||||
Зазначимо, |
що |
якби А не |
залежало від x, то формула |
||||||||
x(A → B(x)) → (A → xB(x)) була б істинною. Дійсно, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 x(A → B(x)) → (A → xB(x)) |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
1 x(A → B(x)), |
0(A → xB(x))* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 x(A → B(x))*, 1 A, 0 xB(x) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 A → B(x) *, 1 A, 1 xB(x) |
|
|
|
|||
|
|
|
0 A ×, 1 A ×, 0 xB(x) |
1 B(x), 1 A, 0 xB(x)* |
|
|
|
||||
|
|
|
|
× |
|
|
1 B(x) ×, 1 A, 0 B(x) ×, 0 xB(x) |
|
|
|
|
×
4. Чи є всюди істинною формула
xA(x) B(x) → x(A(x) B(x))?
82
► Будуємо секвенційне виведення:
|
|
|
|
|
|
0 xA(x) B(x) → x(A(x) B(x)) |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 xA(x) B(x)*, |
0 x(A(x) B(x)) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 xA(x), 0 x(A(x) B(x)) 1 B(x), 0 x(A(x) B(x)) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 xA(x)*, 0 x(A(x) B(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
1 A( y), 0 x(A(x) B(x))* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 A( y), 0 A( y) B( y)* 0 x(A(x) B(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 A( y)×, 0 A( y)×, 0 x(A(x) B(x)) |
|
1 A( y), 0 B( y), 0 x(A(x) B(x)) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Залишилось побудувати виведення для другої секвенції: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 A( y), 0 B( y), 0 x(A(x) B(x))* |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 A( y), 0 B( y), 0 A( y) B( y)*, 0 x(A(x) |
B(x)) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 A( y)×, 0 B( y), 0 A( y)×, |
|
1 A( y), 0 B( y), 0 B( y), |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 x(A(x) B(x)) |
|
0 x(A(x) B(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отримали незамкнену секвенцію, яка до- |
|
z |
|
A(z) |
B(z) |
|||||||||||
зволяє побудувати таку модель: |
|
|
|
a |
1 |
0 |
||||||||||||
|
|
На цій моделі початкова формула спростовна. |
◄ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5. Чи є всюди істинною наступна формула? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y xA(x, y) → x yA(x, y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
► Будуємо секвенційне виведення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 y xA(x, y) → x yA(x, y) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 y xA(x, y)*, 0 x yA(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Тепер будуємо виведення для першої секвенції: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 xA(x, z), 0 x yA(x, y)* 1 xA(x, z)*, 0 yA(t, y)
1 xA(x, z), 1 A(z, z), 1 A(t, z), 0 yA(t, y)*
1 xA(x, z), 1 A(z, z), 1 A(t, z)×, 0 A(t, z)×, 0 A(t,t), 0 yA(t, y)*
Дерево виведення замкнене, тому формула є всюди істинною. 6. Чи є всюди істинною формула
x yA(x, y) → y xA(x, y)?
Будуємо секвенційне виведення (використовуємо для введених змінних позначення як для констант: a, b, c, d, e, …):
83
|
|
|
|
0 x yA(x, y) → y xA(x, y) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1 x yA(x, y)*, 0 y xA(x, y) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
{вільних змінних немає, вводимо a} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x yA(x, y), 1 yA(a, y)*, 0 y xA(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{вводимонову зміннуb} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x yA(x, y), 1 A(a,b), 0 y xA(x, y)* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{підставляємо замість y усі вільнізмінні − a,b} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x yA(x, y), 1 A(a,b), 0 y xA(x, y), 0 xA(x, a)*, 0 xA(x,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{вводимоновузмінну c} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x yA(x, y), 1 A(a,b), 0 y xA(x, y), 0 A(c,a), 0 xA(x,b)* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x yA(x, y)* , 1 A(a,b), 0 y xA(x, y), 0 A(c,a), 0 A(d,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x yA(x, y), 1 yA(b, y)* , 1 A(a,b), 0 y xA(x, y), 0 A(c,a), 0 A(d,b) |
|
|
|
|
||
|
|
|
{вводимоновузмінну e} |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 x yA(x, y), 1 A(b,e)* , 1 A(a,b), 0 y xA(x, y), 0 A(c,a), 0 A(d,b) |
|
|
|
|
|
2. Чи є тотожно істинними формули? (а) (A(x) → xB(x)) → (xA(x) → B(x));
(б) (A(x) → xB(x)) → x(A(x) → B(x)); (в) ( xA(x) → B(x)) →(A(x) →xB(x)); (г) ( xA(x) → B(x)) → (A(x) → xB(x)); (д) ( xA(x) → B(x)) → (A(x) → xB(x)); (е) x(A(x) → B(x)) → (A(x) → xB(x)); (є) (A(x) → xB(x)) → x(A(x) → B(x)); (ж) xA(x) B(x) → x(A(x) B(x));
(з) xA(x) B(x) → x(A(x) B(x)); (и) x(A(x) B(x)) → xA(x) B(x); (і) xA(x) B(x) → x(A(x) B(x)); (ї) x(A(x) B(x)) → xA(x) B(x); (й) x(A(x) B(x)) → xA(x) B(x); (к) x(A(x) B(x)) → xA(x) B(x); (л) x(A(x) B(x)) → xA(x) B(x); (м) A(x) xB(x) → x(A(x) B(x)).
5. Довести рівносильності: |
|
(а) ←xA(x) ~ x ← A(x); |
(б) x yA(x, y) ~ y xA(x, y); |
(в) x yA(x, y) ~ y xA(x, y); |
|
(г) x(A(x) B(x)) ~ xA(x) xB(x); (д) x(A(x) B(x)) ~ xA(x) xB(x).
85
Розділ 2 МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ
Основи теорії множин було закладено відомим німецьким математиком Георгом Кантором у другій половині ХІХ ст. Появу цієї теорії з ентузіазмом сприйняли багато авторитетних математиків. Вони побачили в ній засоби створення метамови математики, тобто формальної універсальної системи понять і принципів, за допомогою якої можна було б викласти з єдиних позицій зміст різноманітних традиційно далеких один від одного розділів математики. Перші такі досить успішні спроби було зроблено незабаром після виникнення канторівської теорії множин.
Однак пізніші дослідники виявили в теорії Кантора чимало суперечностей – парадоксів, або антиномій, теорії множин. Виникла кризова ситуація. Одні математики, посилаючись на штучність сформульованих антиномій, вважали за краще не помічати суперечності або не надавати їм великого значення. Інші
– зосередили зусилля на пошуках більш обґрунтованих і точних принципів і концепцій, на яких можна було б побудувати несуперечливу теорію множин.
У результаті було запропоновано кілька формальних (або аксіоматичних) систем, що стали фундаментом сучасної теорії множин, отже, і всієї класичної математики. Важливість цих досліджень підкреслює і той факт, що значний внесок до становлення аксіоматичної теорії множин зробили такі видатні математики й мислителі минулого століття, як Б. Рассел, Д. Гільберт, К. Гедель та ін.
Сьогодні теорія множин – це математична теорія, на якій ґрунтується більшість розділів сучасної математики, як неперервної, так і дискретної.
2.1.Поняття множини. Способи задання множин
Для наших цілей достатньо викласти основи інтуїтивної, або наївної, теорії множин, яка в головних своїх положеннях зберігає ідеї й результати її засновника Г. Кантора.
В інтуїтивній теорії множин поняття множина належить до первинних понять, тобто його не можна безпосередньо означити через інші простіші терміни чи об'єкти. Тому такі поняття зазвичай пояснюють на прикладах, апелюючи до уяви та інтуїції. Такими поняттями в математиці є також число, пряма, точка, площина тощо. Водночас треба зазначити, що відсутність строгих означень зовсім не означає, що не можна будувати строгі обмежені моделі цих понять. Такі означення роблять через опис зв'язків з іншими поняттями.
Канторівський вираз: Множина – це об'єднання в єдине ціле певних об'єктів, які чітко розрізняються нашою інтуїцією чи нашою думкою, – безумовно не можна вважати строгим математичним означенням. Це, скоріше, пояснення поняття множини, яке заміняє термін множина на термін об'єднання. Іншими си-
нонімами основного слова множина є сукупність, набір, колек-
ція тощо. Прикладами множин можуть бути: множина десяткових цифр, множина літер українського алфавіту, множина мешканців Києва, множина парних чисел, множина розв'язків якогось рівняння тощо.
На письмі множини позначають зазвичай великими літерами. Для деяких множин у математиці використовують сталі позначення. Наприклад, Z – множина цілих чисел, N – множина натуральних чисел, Q – множина раціональних чисел, R – множина дійсних чисел тощо.
Об'єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами. Елементи множин позначатимемо малими літерами латинського алфавіту. Той факт, що об'єкт a є елементом множини M, записують так: a M (читають: a належить мно-
жині M або a – елемент множини M). Знак належності елемен-
та множині є стилізацією першої літери грецького слова εστι (бути). Те, що елемент a не належить множині M, позначають так: a M або a M.
Запис a, b, c, …M використовують для скорочення запису a M, b M, c M, … .
Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є кількістю елементів цієї множини; інакше множина є нескінченною. Кількість елементів скінченної множини A традиційно позначають через |A|.
87
Для задання множини, утвореної із будь-яких елементів, використовуватимемо два способи. В основі обох лежить позначення множини за допомогою фігурних дужок.
1. Якщо a1, a2, …, an – деякі об'єкти, то множину цих об'єктів позначають як {a1, a2, …, an}, де у фігурних дужках міститься перелік усіх елементів відповідної множини. Так можна задавати лише скінченні множини. Порядок запису елементів множини в такому позначенні неістотний.
Приклад 2.1. Множину всіх десяткових цифр записують як {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, множину основних арифметичних
операцій – як {+, –, , /}, а множину розв'язків нерівності – як (x – 1)2 ≤ 0 – {1}. ◄
Зазначимо, що одна з основних ідей канторівської теорії множин – розгляд множини як нового самостійного об'єкта математичного дослідження. Тому потрібно розрізняти такі два різні об'єкти, як елемент a та множина {a}, яка складається з єдиного елемента a. Зокрема, множини можуть бути елементами якоїсь іншої множини. Наприклад, множина
D = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}
усіх можливих пар з елементів a, b, c складається із трьох елементів, її задано цілком коректно.
2. Другий спосіб задання множин ґрунтується на зазначенні загальної властивості або породжувальної процедури для всіх об'єктів, що утворюють описувану множину.
У загальному випадку задання множини M має вигляд
M = {a | P(a)}.
M – це множина всіх тих і тільки тих елементів a, для яких виконується умова P.
Через P(a) позначено або властивість, яку мають елементи множини M, або деяку породжувальну процедуру, що описує спосіб отримання елементів множини M з уже відомих її елементів чи інших об'єктів. Замість вертикальноїриски іноді пишуть двокрапку.
Приклад 2.2.
1. Множину всіх непарних цілих чисел можна задати так: S = {n | n – непарне ціле число} або S = {n | n = 2k + 1, k Z}.
Множина F = {fi | fi + 2 = fi + 1 + fi, i N, f1 = f2 = 1} – це множина чисел Фібоначчі.
88
2. З яких елементів складається множина
B = {y | y = x + z, x, z A},
якщо A = {1, 2, 3}?
B = {2, 3, 4, 5, 6}. ◄
Другий спосіб задання множин загальніший. Наприклад, уведену вище множину D усіхпар зелементів a, b, c можна задатитак:
D = {{x, y} | x{a, b, c}, y{a, b, c} та x ≠ y}.
Дві множини A та B називають рівними (записують A = B), якщо вони складаються з тих самих елементів.
Приклад 2.3.
1. Які з наведених співвідношень є правильними?
(а) {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3}; |
(б) {1, 2, 3} = {1, {2}, 3}; |
(в) {1, 2, 3} = {1, 3, 2}; |
(г) {1, 2, 3} = {{1, 2}, {2, 3}}. |
(а) та (б) – правильні. |
|
2. Які з наведених співвідношень є правильними? |
|
(а) 1 {1, 2, 3}; |
(б) 1 {{1, 2, 3}}; |
(в) 1 {{1}, {2}, {3}}; |
(г) {1} {1, 2, 3}; |
(д) {1} {{1}, {2}, {3}}; |
(е) {1, 2} {1, 2, 3}; |
(є) {1, 2} {1, 2}; |
(ж) {1, 2} {{1, 2}}; |
(з) {1, 2} {{1}, {2}, {3}}; |
(и) {1, 2} {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}; |
(і) a {a}; |
(ї) a {{a}}. |
(а), (д), (ж), (и), (і) – правильні. ◄
Для зручності та однорідності виконання математичних викладок уводять поняття множини, яка не містить жодного елемента. Таку множину називають порожньою множиною і позначають . Наприклад, якщо досліджують множину об'єктів, які мають задовольняти певні властивості, і з'ясовують, що таких об'єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна позначати за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад = { x | x ≠ x} тощо. Водночас твердженням множина M – непорожня можна замінювати рівносильне йому твер-
дження існують елементи, що належать множині M.
Приклад 2.4.
1. Які з наведених співвідношень є правильними?
(а) = {0}; |
(б) = { }; |
(в) = {{ }}; |
(г) {1, } = {1}; |
(д) | | = 0; |
(е) |{ }| = 0; |
|
|
89 |
(є) |{ }| = 1; |
(ж) |{{ }}| = 2; |
(з) |{ , { }}| = 2; |
(и) |{ , 1}| = 1; |
(і) |{{ }, { , 1}}| = 3; |
(ї) |{ , {1, 2}}| = 3. |
(б), (д), (є), (з) – правильні. |
|
|
2. Які з наведених співвідношень є правильними? |
||
(а) 0 ; |
(б) { } { }; |
(в) {{ }} {{{ }}}; |
(г) ; |
(д) {1}; |
(е) { } { , {1}}; |
(є) { }; |
(ж) {{ }}; |
(з) { , { }}. |
(в), (є), (з) – правильні. ◄
2.2. Підмножини
Дві множини A та B називають рівними (записують A = B), якщо вони складаються з однакових елементів.
Множина A називається підмножиною множини B (записують A B або B A) тоді й тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься в множині B. Знаки і називають знаками
включення.
Неважко переконатись, що A = B тоді й тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: A B і B A. Крім того, якщо A B і B C, то A C. Останні два факти часто використовують у доведеннях тверджень про рівність двох заданих множин.
Якщо A B, але A ≠ B, то пишуть A B і називають множи-
ну A власною (строгою, істинною) підмножиною множини B.
Знак (або ), на відміну від знака (або ), називають зна ком строгого включення.
Очевидно, що для будь-якої множини A виконується включення A A. Крім того, вважають, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто A (зокрема ).
Слід чітко розуміти різницю між знаками та і не плутати ситуації їх використання. Якщо {a} M, то a M, і навпаки. Однак із включення {a} M не випливає {a} M. Для будьякого об'єкта x виконується x . Наприклад, для множини D (2.1) та її елементів виконуються такі співвідношення:
90
{a, b}D, {{a, b}, {b, c}} D, a{a, b}, {c} {a, c}, {a} {a, b}.
Приклад 2.5.
1. Які з наведених співвідношень є правильними?
(а) 1 {1, 2, 3}; |
(б) 1 {{1, 2, 3}}; |
(в) {1} {1, 2, 3}; |
(г) {a} {a, b}; |
(д) {1, 2, 3}; |
(е) {1, 2, 3} {1, 2, 3}; |
(є){1} {{1}, {2, 3}}; |
(ж) {1, 2} {{1},1, 2, 3}; |
з){1, 2} {{1}, {2}, {3}}. |
|
(в), (г), (е), (ж), (з) – правильні.
2. Нехай A = {1, 2, {1}}. Які з наведених співвідношень є пра-
вильними? |
|
|
(а) 1 A; |
(б) {1} A; |
(в) {{1}} A; |
(г) {1} A; |
(д) {{1}} A; |
(е) {2} A; |
(є) {2} A; |
(ж) {{2}} A; |
(з) {1, 2} A; |
(и) {1, 2} A; |
(і) A; |
(ї) A; |
(й) { } A; |
(к) { } A; |
(л) { , 1} A. |
(а), (б), (г), (д), (є), (и), (ї) – правильні.
3.Нехай A = { , 1, {1}, {2}}. Які зі співвідношень попередньої задачі є правильними?
(а), (б), (г), (д), (е), (ж), (і), (ї), (к), (л) – правильні.
4.Які з наведених співвідношень є правильними:
(а) ; |
(б) { }; |
(в) { } ; |
(г) { } {{ }}; |
(д) {1}; |
(е) { } { }; |
(є) {{ }} { , { }}; |
(ж) {{ }} { } |
|
(а), (б), (д), (е), (є) – правильні.
5. Які з наведених тверджень правильні: (а) якщо A B і B C, то A C;
(б) якщо A B і B C, то A C;
(в) якщо A B і B C, то A C;
(г) якщо A B і B C, то A C?
У тих випадках, коли твердження неправильне, разом із контрприкладами побудуйте окремі приклади, для яких воно виконується.
Тільки б, в – правильні. (а) Контрприклад:
для A = {1}, B = {{1}, 2}, C = {{{1}, 2}, 3}
твердження хибне.
91