discrete_mathematics

вибір другої літери слова і т. д., m-й – вибір останньої літери. Кожну з цих дій можна виконати n способами.

2. З'ясуємо, скількома способами можна розподілити k різних предметів серед n осіб.

Нехай A – множина осіб, серед яких розподіляють предмети. Кожному варіанту розподілу поставимо у відповідність кортеж (ai1, ai2, …, aik), де aij – особа, яка одержала j-й предмет. Установ-

лена відповідність взаємно однозначна, отже, множина варіантів розподілу містить таку саму кількість елементів, що й множина всіх кортежів довжиною k, утворених з елементів множини A. Тому шукане число становить |Ak| = |A|k = nk.

3. Нехай A та B – скінченні множини, |A| = n, |B| = m. Обчислимо кількість усіх можливих відображень множини A в множину B. Кожне відображення ϕ: A → B можна повністю задати його табл. 3.1, де a1, a2, …, an – елементи множини A, а ϕ(a1), ϕ(a2), …, ϕ(an) – відповідні образи. Кожен з образів можна обрати m способами.

Отже, існує mn способів утворення рядка значень для відо-

браження ϕ у табл. 3.1, тому кількість відображень типу A → B становить |BA| = mn = |B||A|.

4.Скількома способами можна розмістити на шахівниці 8 тур так, щоб вони не били одна одну?

8! Є вісім способів розташувати першу туру на першій вертикалі шахівниці, сім способів розташувати другу туру на другій вертикалі і т.д., один спосіб розташувати восьму туру на останній вертикалі.

5.Скільки існує n-значних десяткових чисел,

(а) усі цифри яких парні; (б) у запису яких є принаймні одна парна цифра;

(в) у запису яких немає цифри 7; (г) у запису яких обов'язково є цифра 5?

(а) 4 5n – 1. Першу цифру такого числа можна обрати чотирма способами (2, 4, 6 або 8), а кожну наступну – п'ятьма.

142

(б) 9 10n – 1 – 5n. Від кількості всіх n-значних десяткових чисел

слід відняти кількість n-значних чисел, усі цифри яких непарні. (в) 8 9n – 1.

(г) 9 10n – 1 – 8 9n – 1 (див. (б) і (в)).

6. Визначити, скільки різних натуральних дільників має число:

(а) 21001 32015 72002; (б) 40042124.

(а) Довільний дільник даного числа має вигляд 2n 3m 7k, де n може набувати значення в діапазоні від 0 до 1001 (тобто є 1002 варіанти обрати n), m – від 0 до 2015, а k – від 0 до 2002. Отже, шукана кількість дільників дорівнює 1002 2016 2003.

(б) Слід розкласти число 4004 на прості множники й застосувати міркування, наведені в попередньому пункті.

7. Нехай множина A містить n елементів, а множина B – m елементів. Визначити кількість:

(а) відповідностей; (б) усюди визначених відповідностей; (в) функціональних відповідностей між множинами A та B. (а) Оскільки відповідність C між A та B – це довільна підмножина декартового добутку A B, то кількість таких відповідностей дорівнює кількості елементів булеана множини A B, яка містить nm елементів. Це число дорівнює 2nm, оскільки для будь-якої підмножини M A B і для довільного елемента a A B (nm варіантів вибору) можливі лише дві ситуації: або елемент a належить множині M, або елемент a не належить

множині M.

(б) Будь-яка відповідність C між A та B однозначно задається множиною образів C(a), a A. Для всюди визначеної відповідності C кожна з цих множин (що є підмножиною множини B) має бути непорожньою. Кількість непорожніх підмножин множини B дорівнює 2m – 1. За правилом множення кількість усюди визначених відповідностей дорівнюватиме (2m – 1)n.

(в) Множиною образів f(a) функціональної відповідності f між A та B для кожного a A може бути або деяка одноелементна підмножина множини B, або порожня множина. Отже, є m + 1 варіант обрати образ для кожного з n елементів множини A, тому кількість функціональних відповідностей дорівнює (m + 1)n.

8. Нехай множина M містить n елементів. Визначити кількість: (а) відношень; (б) рефлексивних відношень;

143

(в) нерефлексивних відношень; (г) антирефлексивних відношень; (д) симетричних відношень; (е) антисиметричних відношень;

(є) рефлексивних і антисиметричних відношень;

(ж) рефлексивних і несиметричних відношень на множині M.

Нехай m = n2, k = n2 – n, l = k/2.

(а) 2m. Кількість відношень на множині M дорівнює кількості елементів булеана множини M × M, яка містить m = n2 елементів.

(б) 2k. Будь-яке рефлексивне відношення R на множині M можна подати у вигляді R = iM R′, де R′ – множина недіагональних елементів із M × M. Кількість варіантів обрати R′ дорівнює кількості елементів булеана множини (M × M) \ iM, що містить k = n2 – n елементів.

(в) Ця кількість дорівнює різниці кількостей усіх відношень і

рефлексивних відношень на M, тобто 2m – 2k. (г) 2k (див. (б)).

(д) Будь-яке симетричне відношення на M однозначно задається вибором довільної підмножини діагоналі iM та довільної підмножини з елементів, розташованих над (або під) діагоналлю. Кількість елементів, з яких здійснюється вибір, становить n + l = n(n + 1)/2, тому кількість симетричних відношень

2n + l = 2n(n + 1)/2.

(е) Для того щоб утворити антисиметричне відношення R, слід узяти довільну підмножину діагоналі iM (2n способів) і додати до неї деяку множину недіагональних елементів, ураховуючи те, що з пари (a, b) і (b, a) симетричних недіагональних елементів до R може входити або лише один із цих елементів, або жоден (3l способів, оскільки кількість таких пар дорівнює l). Отже, існує 2n 3l = 2n 3n(n – 1)/2 антисиметричних відношень на множині M.

(є) 3n(n – 1)/2 (див. попередній пункт).

(ж) Нехай Р – множина рефлексивних відношень, а С – множина симетричних відношень на множині M. Тоді множина рефлексивних і несиметричних відношень на множині M – це

Р \ С. | Р \ С| = | P | – | Р ∩ С| = 2k – 2l (див. п. (б) і (д)). ◄

144

Завдання для самостійної роботи

1. Нехай M – скінченна множина і A, B M. Розташуйте у порядку неспадання такі величини:

(а) | B |, | A B |, | |, | A ∩ B |, | M |;

(б) | A\B |, | A | + | B |, | A B |, | |, | A B |.

2. Довести нерівності:

3.Нехай A – скінченна множина, a – елемент, а B – підмножина множини A. Яких підмножин множини A більше:

(а) тих, що містять елемент a, чи тих, що немістять елемента a; (б) тих, що містять множину B, чи тих, що не перетинаються

із множиною B;

(в) тих, що включають множину B, чи тих, що не включають множину B?

4.У групі 27 студентів. Із них 16 відвідують семінар А, 12 – семінар Б, а 7 студентів не відвідують жодного семінару.

(а) Скільки студентів відвідують семінари А та Б? (б) Скільки студентів відвідують лише семінар А?

5.Обстеження читацьких смаків студентів показало, що 60 % студентів читають журнал А, 50 % – журнал Б, 50 % – журнал В, 30 % – журнали А та Б, 20 % – журнали Б і В, 40 % – журнали А та В, 10 % – журнали А, Б і В. Скільки відсотків студентів:

(а) читають принаймні один журнал; (б) не читають жодного з журналів; (в) читають точно два журнали; (г) читають не менше двох журналів?

6.Знайти кількість і суму чотиризначних натуральних чисел, що не діляться на жодне з таких чисел:

(а) 2, 5, 11; (б) 6, 10, 18.

7.Знайти кількість простих чисел, що не перевищують 120.

8.Під час екзаменаційної сесії з чотирьох іспитів не менше 70 % студентів склали іспит з дискретної математики, не менше 75 % – з математичного аналізу, не менше 80 % – з алгебри й не

145

менше 85 % – з програмування. Яка мінімальна кількість студентів, що склали одночасно всі чотири іспити?

9.Номер автомашини складається із трьох літер українського алфавіту (що містить 33 літери) і чотирьох цифр. Скільки можна скласти різних номерів автомашин?

10.Скількома способами можна розмістити на шахівниці

розміром m n дві різнокольорові тури так, щоб вони не били одна одну?

11.Скільки існує n-значних десяткових чисел, (а) які починаються із двох однакових цифр; (б) у яких сусідні цифри різні; (в) усі цифри яких непарні;

(г) у запису яких є принаймні одна непарна цифра; (д) у запису яких немає цифри 9; (е) у запису яких обов'язково є цифра 3?

12.Скількома способами в множині A з n елементів можна вибрати дві підмножини, що не перетинаються?

13.Визначити, скільки різних натуральних дільників має число: (а) 32015 52016 112017; (б) 24482124; (в) 31244004; (г) 92162331.

14.На одній прямій дано n точок, а на іншій, паралельній першій, – m точок. Скільки існує трикутників, вершинами яких є ці точки?

15.Нехай множина A містить n елементів, а множина B – m елементів. Визначити кількість:

(а) сюр'єктивних відповідностей; (б) ін'єктивних відповідностей; (в) бієктивних відповідностей

між множинами A та B.

16.Нехай множина M міститьn елементів. Визначити кількість: (а) неантирефлексивних відношень; (б) несиметричних відношень; (в) неантисиметричних відношень;

(г) рефлексивних і симетричних відношень; (д) рефлексивних і антисиметричних відношень; (е) антирефлексивних і симетричних відношень;

(є) антирефлексивних і несиметричних відношень; (ж) антирефлексивних і антисиметричних відношень на множині M.

146

3.2. Сполуки, перестановки та розміщення

Позначимо через Bk(M) множину всіх k-елементних підмножин даної скінченної множини M, а через C(n, k) – кількість елементів множини Bk(M), де n = | M | і 0 ≤ k ≤ n. Зокрема, B0(M) складається лише з одного елемента – порожньої множини , B1(M) складається з n елементів – одноелементних підмножин множини M, а Bn(M) містить лише один елемент – саму множи-

ну M. Отже, C(n, 0) = C(n, n) = 1 і C(n, 1) = n.

Кількість усіх k-елементних підмножин множини M, яка складається з n елементів, становить

Довільну k-елементну підмножину n-елементної множини називають сполукою (або комбінацією) з n елементів за k. Фор-

мула (3.3) дає змогу обчислити кількість таких сполук.

Для кількості сполук з n по k крім уведеного позначення C(n, k) використовують також позначення Ckn , nCk, (n, k) або kn .

Приклад 3.3. Підрахуємо, скількома способами можна заповнити картку Лото (6 із 49). Очевидно, їхня кількість дорівнює кількості сполук із 49 елементів (чисел) по 6, тобто

Нехай множина M містить n елементів.

Перестановкою множини M називають будь-який утворений з елементів множини M кортеж довжиною n, в якому кожен елемент із M зустрічається лише один раз. Позначимо через Pn кількість усіх перестановок множини M.

Послідовно утворюватимемо кортежі довжиною n з елементів множини M (| M | = n). Є n можливостей для вибору першої координати кортежу. Після того, як обрано елемент для першої координати, залишиться n – 1 елемент, з яких можна вибрати другу координату кортежу і т. д. За основним правилом комбінаторики всі n дій разом можна виконати

n(n – 1)(n – 2)…2 1 = n!

147

способами. Отже, є n! кортежів довжиною n, утворених з елементів множини M, і Pn = n!

Приклад 3.4.

1. Скільки п'ятизначних чисел можна утворити із цифр 0, 1, 2, 3, 4? Кожну цифру можна використовувати в числі тільки один раз.

Існує P5 = 5! перестановок зазначених цифр. Однак частина з цих перестановок матиме на першому місці цифру 0, тобто відповідатиме чотиризначним числам. Кількість чисел вигляду 0abcd, де (a, b, c, d) – перестановка з цифр 1, 2, 3, 4, становить P4 = 4! Отже, шуканим числом є P5 – P4 = 5! – 4! = 96.

2.Визначити, скількома способами можна вибрати з натуральних чисел від 1 до 100 три натуральні числа так, щоб їх сума була парною.

C(50, 3) + 50C(50, 2). Сума трьох чисел парна, якщо або всі вони парні (кількість таких трійок C(50, 3)), або два з них непарні (таких пар C(50, 2)) і одне парне (що обирається із 50 можливих).

3.Скільки є перестановок цифр 0, 1, 2, …, 9, у яких цифра 3 займає третє місце, а цифра 5 – п'яте?

8! Зафіксуємо в кожній перестановці цифру 3 на третьому місці, а цифру 5 – на п'ятому. На всіх інших восьми позиціях розташуємо всіма можливими способами решту вісім цифр.

4.Скількома способами можна розташувати n нулів і k одиниць так, щоб жодні дві одиниці не стояли поруч?

C(n + 1, k). Запишемо спочатку всі n нулів. Існує n + 1 місце (одне – перед першим нулем, n – 1 – між нулями й одне – після останнього нуля), на які можна записувати по одній одиниці, щоб вони не стояли поруч. Отже, для кожного заданого розташування слід обрати k місць з n + 1 можливих. ◄

Кортеж довжиною k, утворений з елементів множини M (|M| = n), у якому елементи не повторюються, називають розмі

щенням з n по k (0 ≤ k ≤ n). Різні розміщення з n по k відрізняються або складом елементів, або їхнім порядком.

Кількість розміщень із n по k позначають A(n, k) або Ank .

Кількість усіх k-елементних підмножин множини M з n елементів дорівнює C(n, k). Із кожної з цих підмножин можна утворити стільки кортежів, скільки існує різних перестановок її еле-

148

ментів. За попередньою теоремою їхня кількість дорівнює k! Отже, загальна кількість кортежів довжиною k, які можна побудувати з n елементів, дорівнює k!C(n, k).

n!

A(n, k) = k!C(n, k) = (n − k)! ,

тобто A(n, k) = n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1).

Приклад 3.5. Визначити, скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 за умови, що цифри кожного числа різні.

Існує A(5, 3) кортежів довжиною 3, координати яких обрано із зазначених цифр. Виключимо із них кортежі, перша координата яких дорівнює 0. Таких кортежів – A(4, 2). Отже, шукане число дорівнює A(5, 3) – A(4, 2) = 5 4 3 – 4 3 = 48. ◄

Нехай задано множину M, що складається з n елементів, і такі цілі числа

k1, k2, …, km, що k1 + k2 + … + km = n і ki ≥ 0, i = 1, 2, …, m.

Скільки існує розбиттів {A1, A2, …, Am} множини M (див. п. 2.7) таких, що | Ai | = ki, i = 1, 2, …, m? Позначимо шукане число че-

рез Cn(k1, k2, …, km).

Усі зазначені розбиття множини M на m класів можна дістати таким чином: візьмемо довільну k1-елементну підмножину множини M (це можна зробити C(n, k1) способами); серед n – k1 елементів, що залишилися, візьмемо k2-елементну підмножину (це можна зробити C(n – k1, k2) способами) і т. д. Загальна кількість способів вибору різних множин A1, A2, …, Am за правилом множення становить

C(n,k1) C(n – k1,k2) C(n – k1 – k2,k3)…C(n–k1– k2 – … – km – 1, km) =

Кількість різних перестановок, які можна утворити з n елементів, серед яких є k1 елементів першого типу, k2 елементів другого типу і т. д., km елементів m-го типу, дорівнює

Cn(k1, k2, …, km).

Візьмемо перестановку W – довільну із зазначених перестановок – і замінимо в ній усі k1 однакових елементів першого типу різними елементами. Тоді, виконуючи k1! перестановок нововведених елементів, одержимо k1! відповідних перестановок з n елементів. Потім замінимо в перестановці W усі k2 елементів другого типу різними елементами. Переставляючи ці елементи, одержимо k2! відповідних перестановок і т. д. Отже, за допомогою описаної процедури з кожної перестановки W можна утворити k1!k2! … km! різних перестановок довжиною n. Зробивши так для всіх зазначених перестановок, дістанемо всі n! можливих перестановок з n елементів. Якщо позначимо шукану кількість через L, то з наведених міркувань одержимо

L · k1!k2! … km! = n!

n!

Отже, L = k1!k2!... km! , тобто L = Cn(k1, k2, …, km).

Приклад 3.6.

1. Скільки різних слів можна утворити, переставляючи літери слова математика?

Маємо 10 елементів – м, а, т, е, м, а, т, и, к, а, серед яких є два елементи м (першого типу), три елементи а (другого типу), два елементи т (третього типу) та по одному елементу інших типів – е, и та к. За доведеною теоремою з цих елементів можна утворити

10!

C10(2, 3, 2, 1, 1, 1) = 2!3!2!1!1!1! = 151200

перестановок (або слів).

2. Нехай дано n символів a, m символів b і k символів c. Визначити кількість різних слів,

(а) які можна скласти зі всіх цих символів; (б) які складаються зі всіх цих символів і у яких жодні два

символи c не стоять поруч. (а) (n + m + k)!/(n!m!k!).

(б) Розглянемо довільне слово w, утворене зі всіх символів a та b. Кількість таких слів (n + m)!/(n!m!), а довжина кожного з

150

них – m + n. У слові w існує n + m + 1 позицій, на які можна записувати по одному символу c, щоб вони не опинились поруч. Це можна зробити C(n + m + 1, k) способами. Отже, шукана кількість – C(n + m + 1, k)(n + m)!/(n!m!). ◄

Завдання для самостійної роботи

1.Скількома способами можна розподілити k екзаменаційних білетів між n студентами?

2.Скількома способами з 6 інженерів і 14 робітників можна створити бригаду, яка складалася б із 2 інженерів і 5 робітників?

3.Визначити, скількома способами можна вибрати з натуральних чисел від 1 до 100 три натуральні числа так, щоб їх сума:

(а) була непарною; (б) ділилася на три.

4.Скількома способами можна вибрати з n чоловік групу людей для роботи, якщо група має складатися не менше ніж із p чоловік?

5.Скільки є перестановок цифр 0, 1, 2, …, 9, у яких цифра 2 займає друге місце, а цифра 5 – п'яте або шосте?

6.Скількома способами можна посадити за круглий стіл n чоловіків і m жінок так, щоб жодні дві жінки не сиділи поруч?

7.Скількома способами можна роздати 28 кісток доміно чотирьом гравцям так, щоб кожний одержав 7 кісток?

8.Нехай дано n символів a, m символів b. Визначити кількість різних слів,

(а) які можна скласти зі всіх цих символів; (б) які складаються зі всіх цих символів і у яких жодні два

символи b не стоять поруч.

9.Скільки різних слів можна утворити, переставляючи літери

вслові?

10.Скількома способами можна переставити літери слова кавоварка так, щоб голосні та приголосні чергувалися? Розв'язати ту саму задачу для слова палеонтолог.

11.Визначити, скількома способами можна переставити літери наведеного слова так, щоб приголосні йшли за абеткою:

(а) абракадабра; (б) монолог; (в) амальгама.

151