discrete_mathematics

Приклад, коли твердження виконується:

A = {1}, B = {{1}, 2}, C = {{{1}, 2}, {1}}. (г) Контрприклад: для

A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 3}

твердження хибне.

Приклад, коли твердження виконується:

A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 1}.

6. Чи є наведене твердження правильним: якщо A B і B C, то A C?

Ні. Контрприклад: для A = {1}, B = {2}, C = {{1}, 3} це твердження хибне. ◄

Множину всіх підмножин множини A (скінченної чи нескінченної) називають булеаном множини A та позначають β(A).

Для булеана множини A використовують також інші позна-

чення: 2A, P(A), B(A) або Μ(A).

Наприклад, для множини A = {a, b} маємо

β(A) = { , {a}, {b}, {a, b}}.

Приклад 2.6.

1. Для заданої множини A побудувати множину всіх підмножин множини A, тобто її булеан β(A).

{ , {1}, {2}}, { , {1}, {1, 2}}, { , {2}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {1, 2}}, { , {1}, {2}, {1, 2}}}. ◄

Завдання для самостійної роботи

(в) B = { y | y = x z, x, z A}.

92

(з) {1, 3} {{1, 3}}.

7. Нехай A = {1, 2, {2}}. Які з наведених співвідношень пра-

93

2.3.Операції над множинами та їхні властивості

Для множин можна ввести низку операцій (теоретикомножинних), результатом виконання яких також є множини. За допомогою цих операцій можна конструювати нові множини із заданих.

Нехай A та B – якісь множини.

Об'єднанням множин A та B (позначають A B) називають множину тих елементів, які належать принаймні одній із множин A чи B. Символічно операцію об'єднання множин записують так:

A B = {x | x A або x B}, чи x A B (x A) (x B).

Приклад 2.7. {a, b} {c, d,} = {a, b, c, d,}, {a, c} = {a, c}, {a, b, c} {a, c, d, e} = {a, b, c, d, e}. ◄

Перетином множин A та B (позначють A∩B) називають множину, що складається із тих і тільки тих елементів, які належать множинам A та B одночасно, тобто

A ∩ B = {x | x A та x B}, або x A ∩ B (x A) (x B). Приклад 2.8. {a, b, c} ∩ {a, c, d, e} = {a, c}, {a, b} ∩ {c, d} = . ◄

Кажуть, що множини A та B не перетинаються, якщо

A ∩ B = .

Різницею множин A та B (позначають A \ B) називають множину тих елементів, які належать множині A та не належать множині B. Отже,

A \ B = {x | x A та x B}, або x A \ B (x A) ← (x B).

Приклад 2.9. {b, c} \ {a, d, c} = {b}, {a, c, d, e} \ {a, b, c} = {d, e}, {a, b} \ = {a, b}, {a, b} \ {a, b, c, d} = . ◄

Симетричною різницею множин A та B (позначають A B,

A B або A B) називають множину, що складається зі всіх елементів множини A, які не містяться у B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A, тобто

A B = {x | (x A та x B ), або ( x B та x A)}, або x A B ((x A) ← (x B))(← (x A) (x B)).

94

Приклад 2.10.

1. {a, b, c} {a, c, d, e} = {b, d, e}, {a, b} {a, b} = , {a, b} = {a, b}.

2. Нехай A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 5, 7} і C = {2, 4, 7}.

Обчислити:

Уведені теоретико-множинні операції можна проілюструвати

діаграмою Венна (або діаграмою Ейлера) (рис. 2.1).

У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною, або уні версумом, і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі – множину комплексних чисел C, в арифметиці – множину цілих чисел Z, у традиційній планіметрії – множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об'єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

Якщо зафіксовано універсальну множину E, то доповненням множини A (воно є підмножиною універсальної множини E й

позначається A ) називають множину всіх елементів універсальної множини, що не належать множині A, тобто

A = {x | x E та x A}, або x A ← (x A).

Зауважимо, що A = E \ A.

95

Приклад 2.11.

1. Якщо за універсальну множину взяти множину N усіх нату-

ральних чисел, то доповненням Р множини P усіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

2. Нехай E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 3, 6}, B = {1, 4, 6, 7} і C = {1, 2, 3, 6}. Обчислити:

Зазначимо у вигляді тотожностей основні властивості вве-

дених вище теоретико множинних операцій:

1. Асоціативність:

(A B) C = A (B C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

2.Комутативність: A B = B A; A ∩ B = B ∩ A.

3.Дистрибутивність:

A B = A ∩ B ; A ∩ B = A B .

Наведемотакожіншікориснітеоретико множиннітотожності:

A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) – дистрибутивність перетину),

A A , A E = А, A = A.

Приклад 2.12. Покажемо істинність однієї із наведених тотожностей – правила де Моргана A B = A ∩ B .

96

Як зазначалось, рівність двох множин A = B має місце тоді й тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення:

A B і B A.

Для доведення теоретико-множинного включення однієї множини в іншу слід розглянути довільний елемент першої множини і шляхом коректних міркувань обґрунтувати, що цей елемент належить також другій із цих множин.

Побудуємо такий ланцюжок логічних міркувань (за кожним знаком або записано відповідне пояснення):

x A B – за означенням доповнення множини;

←(x A B) – за означенням об'єднання множин;

←((x A) (x B)) – за законом де Моргана, див. п. 1.3;

←(x A) ← (x B) – заозначеннямдоповненнямножини;

x А x В – заозначеннямперетинумножин x А ∩ В.

Усі кроки описаних вище міркувань були рівносильними. Це

означає, що із твердження х A B випливає x A ∩ B, і навпаки. Отже, обґрунтовано обидва включення:

A B A ∩ B і A ∩ B A B . ◄

Аналогічно можна довести всі інші наведені теоретикомножинні тотожності.

Ці тотожності дають змогу спрощувати різні складні вирази над множинами.

Приклад 2.13. Послідовно застосовуючи тотожності із (2.1) і (2.2), маємо:

(A ∩ B ∩ C ∩ D ) ( А ∩ C) ( В ∩ C) (C ∩ D) =

=(A ∩ B ∩ C ∩ D ) (( А В D) ∩ C) =

=((A ∩ B ∩ D ) ( A ∩ B ∩ D )) ∩ C = E ∩ C = C. ◄

Ще одним методом доведення теоретико-множинних співвідношень (рівностей або включень) є метод логічних таблиць.

Значення твердження, що об'єкт є елементом множини M (тобто x M), позначатимемо символом 1. В іншому разі, якщо x M, писатимемо 0.

Приклад 2.14.

1. Доведемо методом логічних таблиць теоретико-множинну рівність A \ (B C) = (A \ В ) (A \ C).

97

За допомогою індексів занумеруємо порядок виконання операцій у лівій та правій частинах, як це було зроблено у прик-

ладах 1.5 та 1.6. Матимемо A \2 (B 1 C) = (A \1 В ) 3 (A \2 C).

Як і раніше, запис (k) у таблиці позначатиме результат операції з номером k.

Будуємо відповідні логічні таблиці:

x A \ (B C), тобто x не є елементом множини в лівій частині. За тих самих умов у правій частині матимемо послідовно:

x A \ В та x A \ C).

Повний збіг значень в останніх (виділених) стовпцях таблиць, що відповідають лівій і правій частинам даної теоретикомножинної рівності, свідчить, що ця рівність справджується.

2. Для доведення теоретико-множинного включення (напр., M1 M2) за допомогою методу логічних таблиць аналогічно попередньому прикладу будуємо логічні таблиці для множин M1 та M2. Включення справджується, якщо в будь-якому рядку цих двох таблиць імплікація значення, що відповідає множині M1, і значення, що відповідає M2, є істинною (тобто твердження

x((x M1) → (x M2)) – істинне).

98

Побудуємо відповідні логічні таблиці для доведення такого теоретико-множинного включення: A \ (B C) (A \ B) (A \ C).

Маємо A \2 (B 1 C) (A \1 B) 3 (A \2 C).

Імплікації виділених значень у всіх рядках таблиці є істинними, тому включення справджується.

Аналіз отриманих логічних таблиць свідчить також, що в наведеному співвідношенні знак включення не можна замінити на знак рівності. Наприклад, для випадку (x A) (x B) (x C) (відповідний рядок таблиці – (1,0,1)) такий об'єкт x є елементом правої множини, однак він не належить лівій множині. ◄

3. Перевірити (довести чи спростувати) правильність такого твердження:

(а) якщо A ∩ B С і A C B, то A С;

(б) A ∩ B C тоді й тільки тоді, коли A B C; (в) якщо A ∩ B C, то A C і B C.

(а) Позначимо елементарні твердження x A, x B та x C через a, b, c, відповідно. Тоді перевірка правильності сформульованого твердження зводиться до з'ясування коректності такого логіч-

ного висновку: (a b) → (← c), (a c) → b A a → (← c).

Тобто слід визначити, чи є тавтологією формула

((a b) → (← c)) ((a c) → b) → (a → (← c)).

Побудовою таблиці істинності або методом відшукання контрприкладу переконуємось, що остання формула є тавтологією. Отже, твердження правильне.

(б) Використаємо ті самі елементарні твердження, що й у попередньому пункті. Відповідна до наведеного твердження формула

99

((a b) → c)) ~ (a → (← b c))

є тавтологією, що свідчить про його правильність.

(в) Аналогічно попереднім пунктам запишемо відповідну наслідковість

a b → c (a → b) (b → c).

Неважко переконатись, що ця наслідковість не виконується. Наприклад, для елемента x такого, що x A, x B та x C, засновок a b → c буде істинним, ависновок (a → b) (b → c) – хибним. ◄

Приклад 2.15.

1. Навести приклад множин A та B, які спростовують рівність (A \ B) B = A. Сформулювати та довести необхідні й достатні умови для виконання цієї рівності.

Наприклад, A = {1, 2}, B = {2, 3}. Тоді (A \ B) B = {1, 2, 3} ≠ A.

Доведемо, що (A \ B) B = A тоді й тільки тоді, коли B A. Нехай (A \ B) B = A. Розглянемо довільний елемент x B. З вивідностей у п. 1.4 маємо: x B (x A \ B x B) (за означенням об'єднання множин) x (A \ B) B. Отже, за умовою x A

й виконується включення B A.

Припустимо, що B A. Для встановлення рівності

(A \ B) B = A

доведемо такі два включення: (A \ B) B A та A (A \ B) B. x (A \ B) B – за означенням об'єднання множин;

(x (A \ B) x B) – за означенням різниці множин; ((x A x B) x B) – див. п. 1.4 і припущення B A; (x A x A) –

Навпаки, нехай x A (див. п. 1.4) (x A (x B x B)) –

дистрибутивність кон'юнкції щодо диз'юнкції, див. п. 1.3); ((x A x B) (x A x B)) – див. п. 1.4;

(x B x A \ B) – за означенням об'єднання та властивістю

комутативності об'єднання множин x (A \ B) B.

Отже, необхідні й достатні умови для виконання рівності (A \ B) B = A доведено.

2. Чи існують множини A, B і C, для яких одночасно виконуються такі співвідношення?

A ∩ B ≠ , A ∩ C = , (A ∩ B) \ C = .

100

Ні. Доведення виконаємо методом від супротивного, тобто припустимо, що такі множини A, B і C існують. Тоді з умови A ∩ B ≠ випливає, що існує елемент x A ∩ B, тобто x A та x B. З другої умови отримаємо x C. Отже, x (A ∩ B) \ C, що суперечить останній умові. Отримана суперечність спростовує припущення про існування таких множин.

3. Довести, що A ∩ B C тоді й тільки тоді, коли A В C. Нехай A ∩ B C і x A – див. п. 1.4;

(x A (x B x B)) –

диз'юнкції, див. п. 1.3;

((x A x B) (x A x B)) – означення перетину й допов нення множин і наслідковість із п. 1.4;

(x A ∩ B x В) – припущення задачі й означення об'єд

нання множин x В C.

Отже, доведено, що A В C.

Навпаки, нехай A В C. Маємо x A ∩ B – означенняперетину множин; x A x B – припущення задачі;

(x В C x B) – означення об'єднання множин;

(x В x C) x B – дистрибутивність кон'юнкції щодо диз'юнкції;

(x В x B) (x C x B) – означеннядоповненнямножини; (← (x B) x B) (x C x B) – властивість заперечення,

див. п. 1.3;

0 (x C x B) – властивості елементів 0 і 1, див. п. 1.3; С x B – наслідковість із п. 1.4 x C.

Таким чином, доведено включення A ∩ B C.

Наведене твердження можна довести також за допомогою методів математичної логіки, обґрунтувавши рівносильність формул

((x A x B) → x C) і (x A → (← x B x C))

або (що те саме) тотожну істинність виразу

((x A x B) → x C) ~ (x A → (← x B x C)).

4. Що можна сказати про множини A та B, якщо?

101