Деление в дополнительном (обратном) кодах со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка

Арифметические операции над числами, представленными с плавающей запятой

В основе арифметических операций над числами с плавающей запятой лежат принципы, на которых базируются операции над числами с фиксированной запятой. При этом есть и некоторые особенности.

Будем условносчитать, что порядки заданы в обратном коде, а мантиссы – в прямом.

Умножение:

X = 2^mx* sign X.x₁x₂...x_n

Y = 2^my * sign Y.y₁y₂...y_n

Z = X*Y = 2^mx+my * sign Z.z₁z₂...z_n

Порядок выполнения операции следующий:

1. Знак произведения находится так же, как и при умножении чисел с фиксированной запятой:

2. Порядок произведения находится алгебраическим суммированием порядков мно­жимого и множителя.

3. Мантисса находится по правилам умножения чисел с фиксированной запятой.

При этом возможны следующие случаи:

• Мантисса произведения – ненормализованное число, так как

• ½ |M_x| < 1,

• ½ |M_y| < 1, то

• ¼ |M_x*M_y| < 1, при ¼|M_x*M_y| < ½

• имеем ненормализованное число.

Поэтому необходима нормализация влево максимум только на один разряд.

С этой целью нужно сдвинуть мантиссу влево на один разряд. Это соответствует умножению числа на 2¹. Для того чтобы число не увеличилось в два раза, нужно из порядка вычесть единицу.

• При умножениидвух чисел в силу ограниченности разрядной сетки можно получить число, которое не может быть в ней представлено. Это соответствует получению машинной бесконечности.

В данном случае вырабатывается специальный признак, по которому дальнейшие вычисления прекращаются.

• При умножении двух чисел можно получить минимальное число, которое также не может быть представлено в разрядной сетке. Это соответствует случаю, когда получаемое число должно быть интерпретировано как нуль.

Деление

В основном аналогично умножению:

X = 2^mx * sign X.x₁x₂...x_n

Y = 2^my * sign Y.y₁y₂...y_n

Z = X/Y = 2^mx–my * sign Z.z₁z₂...z_n

Порядок выполнения операции следующий:

1. Находится по известным правилам знак частного.

2. Порядок частного находится как разность порядков делимого и делителя.

3. Цифры частного находятся так:

вначале находится целая часть мантиссы, то есть |M_x| - |M_y| =₀

Если ₀0, то z₀= 1, если₀< 0, то z₀= 0.

Дробная часть мантиссы находится так же, как при операциях над числами с фиксированной запятой. Такой порядок действий вытекает из того, что:

½ |M_x| < 1,

½ |M_y| < 1,

2^-1< |M_x/ M_y| < 2

То есть, возможно получение ненормализованной мантиссы. Для нормализации мантиссу необходимо сдвинуть вправо на один разряд и, чтобы не уменьшать при этом результат в два раза, нужно прибавить к порядку одну единицу.

При делении, так же, как и при умножении, возможно получение кода машинного нуля и кода бесконечности.