Умножение чисел со старших разрядов в прямом коде

Пусть два числа X и Y представлены с фиксированной запятой в виде:

[X]_пк= sign X.x₁x₂...x_n– множимое

[Y]_пк= sign Y.y₁y₂...y_n– множитель

Представим множитель в виде:

[Y]_пк= sign Y. (y₁*2^-1+ y²*2^-2+ ... + yⁿ*2^-n)

Тогда:

[Z]_пк= [X]_пк*[Y]_пк= sign Z. |X| (y₁*2^-1+ y₂*2^-2+ ...+ y_n*2^-n) =

= sign Z. (|X|*y₁*2^-1 + |X|*y₂*2^-2 + ... + |X|*y_n*2^-n) =

= sign Z. (|X|*2^-1*y₁ + |X|*2^-2*y₂ + ... + |X|*2^-n*y_n)

Это есть аналитическая запись алгоритма умножения двух чисел, начиная со старшихразрядов множителя.

Алгоритм:

• Множимое сдвигается вправо на 1 разряд

• Анализируется цифра множителя. Если она – нуль, то частичное произведение не суммируется, а если она – единица, то частичное произведение добавляется к общему результату.

• Последовательность операций по пунктам 1 и 2 продолжается "n" раз.

• Знак произведения находится независимо от получения цифровой части по формуле:

sign Z = sign X sign Y

Пример:

Видно, что в общем случае нужно иметь для точного результата сетку с числом разрядов, равным сумме разрядностей сеток сомножителей.

Если нужно получать произведение с точностьюне хуже, чем 2^-n, то достаточно иметь не удвоенную величину разрядной сетки, а лишь увеличенную на

d = log₂n разрядов

Умножение с младших разрядов в прямом коде

Напишем выражение для произведения двух чисел в несколько изменённом виде, а именно:

[Z]_пк= [X]_пк*[Y]_пк=

= sign Z.(|X|*y₁*2^-1+ |X|*y₂*2^-2+... + |X|*y_n*2^-n ) =

= sign Z.( |X|*2^-1*y₁+ 2^-1(|X|*2^-1*y₂+ 2^-1(|X|*2^-1*y₃+ (...)))) =

= sign Z. ((...(( |X|*y_n*2^-1+ |X|*y_n-1 )2^-1+ |X|*y_n-2 )2^-1+ ... +

+ |X|*y₂)2^-1+ |X|*y₁)*2^-1

Это выражение называется преобразованием по схеме Горнера и задаёт алгоритм умножения с младших разрядов множителя.

Таким образом, для умножения должна выполняться следующая последовательность действий:

• Анализируется младшая цифра множителя. Если она равна "1", то множимое участвует в формировании части произведения. В противном случае – не участвует.

• Полученное частичное произведение сдвигается вправо на 1 разряд.

• Операции по пунктам 1 и 2 выполняются до старшего разряда.

Пример:

signZ= 1 1 = 0

[Z]_пк= 0.10000100

Замечание.

Для получения произведения с точностью не ниже, чем 2^-nнужно иметь только "n"– разрядную сетку.

Итак, видим, что для получения произведения как при умножении со старших,так и младших разрядов необходимо выполнять две микрооперации: суммирование чисел в позиционной системе счисления и сдвига.

Однако, известно, что числа могут быть представлены в различных кодах(это, прежде всего, отрицательные числа).

Мы уже знаем, как выполняется операция суммирования чисел (в том числе и сразными знаками).

Однако микрооперация сдвига имеет некоторые особенности:

Сдвиг вправо:

Сдвиг влево возможен только в случае, если сдвинутое число меньше единицы по модулю:

Исходные числа:

Если чисто формально сделать преобразование выражения некоторого числа, записанного в прямом коде до выполнения сдвига и после выполнения микрооперации сдвига, в обратный модифицированный код, то:

То есть при сдвиге вправо отрицательного числа старшие разряды заполняются единицами. При сдвиге влево в старшие и младшие разряды пишутся единицы.

Пользуясь аналогичными правилами, нетрудно установить, что при сдвиге влево отрицательного числа в модифицированном дополнительном коде младшие разряды сдвинутого числа нужно заполнить нулями.