Перевод чисел из одной системы счисления в другую, когда одно основание является целой степенью другого.

Как мы уже знаем, в ЭВМ наибольшее применение находит система с основаниями 2, 4, 8, 16, т.е. системы которые кратны степени 2. Поэтому целесообразно рассмотреть лишь правила перевода чисел в этих системах. Аналогичные правила будут справедливы и для других систем. Допустим, что имеется некоторое целое число N₈в 8-ой системе. Оно может быть представлено в виде:

N₈= a₁*8^n-1+ a₂*8^n-2+ a₃*8^n-3+ ...

+ a_n-2*8²+ a_n-1*8¹+ a_n*8⁰.

Пусть каким-либо образом мы получили запись этого числа в виде двоичного, т.е.:

N₂ = b₁*2^k-1 + b₂*2^k-2 + ...

+ b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰.

Разделим эти выражения на 2³= 8:

a₁*8^n-2+ a₂*8^n-3+ a₃*8^n-4+ ...+ a_n-1*8⁰ + a_n*8^-1

-------

дробная часть

b₁*2^k-4 + b₂*2^k-5 + ... + b_k-3*2⁰+ b_k-2*2^-1+ b_k-1*2^-2+ b_k*2^-3

-------------------------

дробная часть

Так как числа были равны, то получается одинаковые частные и одинаковые остатки:

a_n*8^-1= b_k-2*2^-1+ b_k-1*2^-2+ b_k*2^-3. (6.2)

Если снова разделим целые части на 2³= 8, то опять получим равные частные и равные остатки.

При этом видим, что каждой восьмеричной цифре соответствует её двоичный эквивалент. Поэтому перевод выполняется простой заменой цифры восьмеричной системы её двоичным эквивалентом и обратно.

Пример:

62,753₈= 110010,111101011₂

Аналогично для 4-ой системы:

321,2233₄= 111001,10101111₂

Аналогично для 16-ой системы:

1D876,72 = 00011101100001110110,01110010₂

Из этих примеров видим, что чем выше основание системы счисления, тем компактнее запись.

b_k-2	b_k-1	b_k	a_n
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7

Если умножить последние соотношения (6.2) на 8, то:

a_n*8^-1*8 = (b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3)*2³

a_n = b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰

7. Лекция: Способы представления чисел в ЭВМ



Страницы: 1 \| 2 \| 3 \| 4 \| 5 \| вопросы \| »	\| учебники \| для печати и PDA \| ZIP

Если Вы заметили ошибку - сообщите нам, или выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

В лекции представлены способы представления чисел в ЭВМ: фиксированная и плавающая запятая. Описаны прямой, дополнительный и обратный коды. Дано сложение чисел в дополнительном и обратном кодах.



Как мы уже знаем, применяются два основных способа представления чисел - с фиксированной и плавающей запятой. Большинство универсальных ЭВМ работает с числами, представленными с плавающей запятой, а большинство специализированных - с фиксированной запятой. Однако целый ряд машин работает с числами в этих двух форматах. В общем виде способ представления чисел сильно влияет на характер программирования. Так, программирование для ЭВМ, работающих в системе с фиксированной запятой, значительно усложняется, поскольку помимо алгоритмических трудностей этот процесс требует ещё отслеживания положения запятой. Фиксированная запятая Оговоримся, что разрядная сетка машины имеет постоянное число разрядов - n. При представлении чисел с фиксированной запятой считают, что запятая всегда находится перед старшим разрядом, а все числа, которые участвуют в вычислениях, считаются по абсолютной величине меньше единицы: \|X\| < 1 Введём две характеристики чисел: диапазон изменения и точность представления. Диапазон изменения характеризуется теми пределами, в которых могут находиться числа, с которыми оперирует машина. Отличное от нуля самое малое число: Таким образом, диапазон чисел, с которыми работает ЭВМ, есть: \|X\|_min \|X\|\|X\|_max 2^-n \|X\|1 - 2^-n Иными словами, числа, которые выходят за диапазон изменения, в ЭВМ не могут быть представлены точно. Если \|X\| < \|X\|_min = 2^-n, то такое число воспринимается как нуль. Если: \|X\| > \|X\|_max = 1- 2^-n, то такое число воспринимается как бесконечно большое. Этим двум случаям соответствуют понятия машинного нуля и машинной бесконечности. При оптимальном округлении абсолютная ошибка: \|ΔX\| 0,52^-n Минимальная относительная ошибка: \|ΔX\| 0,52^-n \|x\|_min = _______ = -__________ 2^-(n+1) \|X\|_max 1-2^-n так как 1-2^-n 1 при большом "n" Максимальная относительная ошибка: \|ΔX\| 0,5*2^-n \|X\|_max = _____ = _____________ = 0,5 \|X\|_min 2^-n Ошибка представления числа зависит от величины самого числа и способа округления: 2^-(n+1) \|X\|0,5 Заметим, что для малых чисел ошибка может достигать большой величины.