Синтез переключательных функций в одноэлементном базисе Операция (стрелка) Пирса

f₈(x₁,x₂)

x1	0	0	1	1
x2	0	1	0	1
f8	1	0	0	0

Эту функцию можем представить, записав по "единицам":

f₈(x₁,x₂) = x₁x₂= x₁x₂

или

x₁x₂= x₁x₂

На основе принципа суперпозиции:

f(x₁,x₂,...x_n) = x₁x₂x₃. . .x_n= x₁x₂x₃. . .x_n

Применяя правило де Моргана:

x₁x₂x₃. . .x_n= x₁x₂x₃. . .x_n= x₁x₂x₃. . .x_n

или:

x₁x₂x₃. . .x_n= x₁x₂x₃. . .x_n

т.е.

x₁x₂x₃. . .x_n= x₁x₂x₃. . .x_n

Рассмотрим некоторые соотношения для операции Пирса:

xx = xx = x

x₁x₂= x₁x₂= x₂x₁= x₂x₁

x₁x₂x₃= (x₁x₂)x₃= x₁x₂x₃x₁(x₂x₃),

т.е. операция Пирса не обладает свойством ассоциативности

x₁x₂x₃= (x₁x₂)x₃= x₁(x₂x₃)

x₁x₂x₃x₄= (x₁x₂)(x₃x₄)

При этом порядок выполнения операций в формулах, где есть операции Пирса такой:

1. раскрываются скобки

2. выполняются операции инверсии

3. выполняются операции Пирса

Синтез логических функций в базисе Пирса удобно производить, имея запись функции в КНФ.

Допустим, что ФАЛ задана в конъюктивной форме

f = Q₁Q₂Q₃. . . Q_n

Подставим член Q_iв виде:

Q_i= (x_rx_px_q. . .x_wx_fx_e. . .x_z)

Возьмем двойное отрицание от обеих частей этого равенства, применив правило де Моргана

Q_i= (x_rx_px_q. . .x_wx_fx_e. . .x_z) = (x_r* x_p* x_q* . . .x_w* x_f* x_e* . . . * x_z)

Применяя соотношение, полученное на основе принципа суперпозиции:

Q_i= (x_rx_px_q. . .x_wx_fx_e. . .x_z)

Или, применяя это преобразование к исходной форме, получим:

f = Q₁Q₂Q₃. . .Q_n

Итак: чтобы от КНФ перейти к базису Пирса и инверсии необходимо:

1. заменить операции дизъюнкции операциями Пирса

2. заменить операции конъюнкции операциями Пирса

3. заключить в скобки все те группы букв, которые соответсвуют конъюнктивным членам.

Пример:

f(x₁x₂x₃) = (x₁x₂x₃) (x₁x₄) (x₂x₄) = (x₁x₂x₃)(x₁x₄) (x₂x₄)

Замечание. Так как в этих произведениях число букв не увеличивается, и если исходная форма функции была минимальной, то вновь полученная также будет минимальной (в действительности дело обстоит сложнее, поскольку мы рассматриваем не базис "", а другой, то есть "" и "-" - операцию Пирса и инверсию).

Принципиально можно избавиться от отрицаний, применив соотношение: x_i= x_ix_i, но тогда нельзя будет утверждать, что полученная форма будет минимальной!

Операция штрих Шеффера

x1	0	0	1	1
x2	0	1	0	1
f14	1	1	1	0

Заметим, что эта функция дуальна по отношению к f₈, поэтому все свойства являются по существу дуально вытекающими из рассмотренных.

f₁₄(x₁,x₂) = x₁x₂(запись функций по нулям)

x₁| x₂= x₁x₂= x₁x₂= x₁x₂= x₁x₂

на основе принципа суперпозиции:

x₁| x₂| . . . | x_n= x₁x₂...x_n

Рассмотрим некоторые эквивалентности:

x | x = x x = x

x₁| x₂| x₃= (x₁x₂)| x₃= x₁| (x₂x₃)

x₁| x₂| x₃| x₄= (x₁x₂)| (x₃x₄)

Сформулируем правила перехода от ДНФ функции к выражению с использованием операции "Штрих Шеффера".

1. заменить все операции дизъюнкции на операции Шеффера

2. заменить все операции конъюнкции на операции Шеффера

3. группы букв, которые соответствуют дизъюнктивным членам, заключить в скобки.

Пример:

f(x₁x₂x₃) = x₁x₂x₃x₁x₂x₁x₂x₃= = (x₁|x₂|x₃)|(x₁|x₂)|(x₁|x₂|x₃)

То же самое можно утверждать относительно минимальной формы.

В заключение необходимо отметить, что в настоящее время вопросы синтеза функций в одноэлементном базисе приобретают большое значение, так как соответствующие элементы используют операцию Пирса и Шеффера. Однако в полной мере теоретически методы синтеза разработаны не столь детально, как это сделано в базисе "и", "или", "инверсия".