Энергия взаимодействия зарядов и энергия электростатического поля

Стационарность электрического поля и неподвижность зарядов устраняют необходимость учета запаздывания из-за конечности скорости

1. распространения взаимодействия. Поэтому энергия взаимодействия зарядов с полем

2. может быть интерпретирована как энергия взаимодействия между зарядами в духе концепции дальнодействия. Действительно, если воспользоваться выражением для потенциала

полученным в пренебрежении запаздыванием, то энергия взаимодействия системы зарядов складывается из энергии взаимодействия отдельных пар:

.

Аналогом этих выражений в случае непрерывного распределения зарядов являются выражения

и

.

Теперь воспользуемся теоремой Гаусса чтобы представить электростатическую энергию,

3. как энергию электростатического поля, рассматриваемой системы зарядов

Для системы зарядов конечных размеров при отнесении поверхности на бесконечность, т.е. при , ее площадь растет , но , так что поверхностный интеграл равен нулю.

В результате электрическая энергия приобретает вид энергии электростатического поля.

Итак, работа поля по перемещению зарядов в электростатике может рассматриваться как:

1. потенциальная энергия системы заряды + поле, обусловленная взаимодействием зарядов с полем;

2. потенциальная энергия системы зарядов, обусловленная взаимодействием зарядов между собой (в духе концепции дальнодействия);

3. как энергия поля, созданного системой зарядов.

Применение формулы для энергии взаимодействия зарядов к двум точечным зарядам показывает, что при эта энергия,

,

по модулю стремится к бесконечности. Эта расходимость не имеет физической интерпретации, что не мешает использованию классических формул для энергии, пока речь идет о достаточно больших расстояниях.

Поскольку расходимость связана с точечной моделью заряда, то можно попытаться обойти эту проблему с помощью модели непрерывно распределенных зарядов.

Например, рассчитанная энергия электрона в виде жесткого шарика с равномерно распределенным зарядом оказалась равной , где – радиус шарика.

Предполагая, что масса электрона имеет электромагнитное происхождение, можно воспользоваться соотношением Эйнштейна , которое дает для так называемого классического радиуса электрона, величину м.

Классический радиус электрона играет роль предельного масштаба применимости классической электродинамики для описания взаимодействия зарядов на малых расстояниях.

При этом остается без ответа вопрос о природе сил, удерживающих «части» электрона в пределах столь малого объема, несмотря на огромные силы электростатического отталкивания. Так, что эта модель столь же несостоятельна как и точечная модель.

Поэтому рассматривая энергии электрического взаимодействия микрочастиц, существенно меньшие их собственной энергии покоя, проще пользоваться точечной моделью.

Поскольку бессмысленно говорить о перераспределении зарядов внутри точечного объекта, то, энергия поля точечного электрона хотя и бесконечна, но остается неизменной.

Физические проявления в точечной модели имеет только энергия взаимодействия точечных зарядов. Т.о. можно считать потенциальной энергией системы зарядов только частью полной энергии, отвечающую за взаимодействие зарядов.

Магнитостатическое поле в вакууме

Описывается уравнением Пуассона для векторного потенциала

Поле, созданное токами рассматриваемой системы, в отсутствие внешнего стационарного поля, описывается частным решением

, где мы ввели обозначение .

Магнитная индукция по определению равна

.

Здесь – закон Био-Савара-Лапласа для объемного распределения токов. Применяя это выражение к квазилинейным токам, для которых , где , , , получим известное из курса общей физики выражение закона Био-Савара-Лапласа

Магнитное поле ограниченной системы токов в дипольном приближении

Из условий стационарности и закона сохранения заряда имеем

поле объемных токов соленоидально = линии тока замкнуты.

Опишем вокруг системы токов минимальную сферу и поместим начало координат в ее центр. Тогда для расстояний много больше радиуса описанной сферы , можно воспользоваться рассмотренным выше разложением в ряд Тэйлорапо .

Здесь мы ограничимся линейным по приближением.

Приближенное выражение для векторного потенциала в этом случае имеет вид

Выберем таким образом, чтобы на ограничивающей ее поверхности выполнялось равенство и рассмотрим интеграл

Взяв , получим

т.е.

Теперь возьмем

Отсюда

и второе слагаемое в векторном потенциале можно преобразовать к виду

где величина называется магнитным дипольным моментом системы.

Т.о. векторный потенциал в дипольном приближении имеет вид

, где - радиус-вектор места расположения диполя (центра описанной сферы), - радиус-вектор т.н.

Магнитная индукция в дипольном приближении находится в соответствии с определением

Если начало координат выбрано в центре описанной сферы, т.е. в месте расположения дипольного момента, то

Пример

Магнитный момент точечного электрона, движущегося по окружности, представляет собой линейный круговой ток силой

В этом случае , так что

.

Геометрический момент так что . Магнитный момент тока, создаваемого электроном, движущимся по орбите, называется орбитальным магнитным моментом электрона.

В соответствии с определением момента импульса равен . Для такого электрона это дает . Отношение магнитного момента к механическому называют гиромагнитным отношением.

Энергия системы движущихся зарядов во внешнем магнитном поле.

Силы, действующие на систему.

Покажем, что магнитная индукция поля ограниченной системы токов в дипольном приближении может быть представлена аналогично напряженности электростатического поля через градиент скалярного потенциала:

Где - скалярный потенциал системы фиктивных магнитных зарядов, имеющий нулевой суммарный заряд.

Если в поле, описываемое скалярным потенциалом , поместить систему фиктивных магнитных зарядов (распределенных таким хитрым образом, что их плотность равна нулю, а плотность дипольного момента не равна нулю, т.е. неразрывно связанных в пары с нулевым зарядом), то ее энергия по аналогии с электростатикой будет определяться формулой

где -радиус-вектор описанной сферы.

Продолжая аналогию с электростатикой, можно записать силы, действующие на жесткую систему токов во внешнем магнитном поле в виде:

- главный вектор сил

- главный момент сил

Энергия магнитостатического поля

где второе слагаемое равно нулю, т.к.

В результате

- энергия взаимодействия магнитного поля с токами

Наконец воспользовавшись выражением для векторного потенциала

Можно привести магнитную энергию к виду

энергии взаимодействия токов между собой в духе концепции дальнодействия (без запаздывания, т.к. статика).

Используя соотношение запишем

и сопоставим с энергией взаимодействия зарядов .

Т.к. , то отношение определяется соотношением между скоростями движения зарядов и скоростью света . Поэтому магнитные взаимодействия относят к релятивистским эффектам.

Однако для электронейтральных систем, где электрическое поле исчезающе мало, магнитные силы отличны от нуля даже при малых скоростях движения зарядов.

В стационарных ЭМ полях имеет место перенос энергии с плотностью тока

Стационарное ЭМ поле обладает импульсом с плотностью

Вводя плотность энергии в потоке энергии получаем релятивистское соотношение