2.2.Интегральная форма уравнений Максвелла

• Проинтегрируем уравнение (I.2) по объему V



Применяя теорему Остроградского-Гаусса (т. О-Г) получим

Интегральную формулировку теоремы Гаусса для электрического заряда

Здесь - элементарный поток вектора напряженности электрического поля (НЭП) через площадку _, – поток вектора НЭП через замкнутую поверхность S, окружающую заряд Q.

Интегральная формулировка удобна при определении распределения заряда в случае, если это распределение имеет разрывы: т.е. при наличии поверхностно распределенных зарядов, линейных зарядов и точечных зарядов.

= числу силовых линий, пронизывающих поверхностьS.

• Аналогично интегрируя (II.2)

, получаем



(т. О-Г)

– элементарный поток вектора индукции магнитного поля (ИМП), (или, просто, элементарный магнитный поток), через элемент поверхности .

Поток вектора ИМП через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Это значит, что линии ИМП не могут начинаться или заканчиваться в пределах выделенного поверхностью S объема. Т.к. выбор S произволен, то линии ИМП замкнуты.

Поэтому замкнутость линий ИМП трактуется, как следствие отсутствия магнитных зарядов.

• Возьмем уравнение (II.1) и проинтегрируем его по некоторой поверхности S, опирающейся на контур L. Если поверхность не замкнута, как в данном случае, то принято выбирать ее ориентацию так, чтобы она была связана с направлением обхода контура правилом правого винта.

т. Стокса +

.

В соответствии с вышесказанным, вклад в интеграл дает только вихревая составляющая электрического поля. Здесь

– элементарная работа электрических сил по перемещению единичного точечного заряда в электрическом поле (на отдельных участках контура вклад дают и вихревая, и потенциальная составляющие).

Интеграл по замкнутому контуру L в математике называется циркуляцией вектора . С физической точки зрения он служит определением электродвижущей силы (ЭДС) индукции.

• Аналогично, выполняется интегрирование уравнения (I.1) по поверхности S, опирающейся на замкнутый контур L. В результате получаем

, где

; ;

(Иногда - по аналогии с называется магнитодвижущей силой, как если бы существовали магнитные заряды).

Рассмотрим физический смысл величины

S₁

I;

L

S₂

Интеграл не должен зависеть от нашего выбора поверхности интегрирования, т.е. ток должен быть замкнут. Это значит, что линии тока должны как-то замыкаться в пространстве между обкладками конденсатора. Замыкание осуществляет так называемый ток смещения,

,

введенный Максвеллом в уравнение, полученное на основе закона Ампера для магнитодвижущей силы. Соответственно, в его дифференциальной формулировке

к плотности тока проводимости добавляется плотность тока смещения . По существу это означает, что магнитное поле порождается не только движущимися зарядами, но и переменным электрическим полем.

В результате интегральная формулировка уравнений Максвелла для ЭМ поля в вакууме имеет вид:

Физический смысл уравнений Максвелла и

их связь с эмпирическими законами электромагнетизма

I.1. Является обобщением закона полного тока с учетом тока смещения.

Закон полного тока получен на основе закона Био-Савара-Лапласа.

ФСИсточником магнитного поля являются движущиеся заряды и переменное во времени электрическое поле.

I.2. Представляет собой теорему Гаусса, полученную на основе закона Кулона.

ФС Источником потенциальной компоненты электрического поля (кулоновского поля) являются электрические заряды.

II.1. ФС Источником вихревой компоненты электрического поля является переменное во времени магнитное поле.

- представляет собой закон ЭМ индукции Фарадея.

II.2. –теорема Гаусса для магнитного поля

ФС – фиксирует экспериментально установленный факт отсутствия магнитных зарядов, аналогичных электрическим.