Импульс эм поля. Закон сохранения импульса.

Просуммируем уравнения движения заряженных материальных точек

С помощью соответствующих уравнений Максвелла получим под интегралом

Дополним правую часть равным нулю слагаемым

, полученным из закона Фарадея, и равным нулю слагаемым, полученным из другого (последнего) уравнения Максвелла.

После перегруппировки слагаемых получим

В результате, для суммарного импульса частиц получим уравнение

Где два последних интеграла преобразуются к поверхностным:

;

;

;

Аналогично расписываются и преобразуются y и z – компоненты

В результате получаем

Точно так же получаем

Если ввести так называемый максвелловский тензор натяжений

, то два последних слагаемых могут быть представлены в виде

Исходя из того соображения, что полный импульс системы «вещество + поле» в объеме V может измениться только за счет его перетекания через поверхность S, следует, что

имеет смысл плотности потока i-ой проекции импульса ЭМ поля в направлении оси k, а вектор имеет смысл плотности импульса ЭМ поля.

Аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении закона сохранения энергии, можно показать, что для конечной системы зарядов и бесконечного объема поверхностный интеграл обращается в 0.

В результате для изолированной системы поле – заряды получаем закон сохранения импульса в виде

;

Плотность энергии в потоке определим исходя из того, что при движении со скоростью света c произведение дает плотность потока энергии . Тогда

Это значит, что между плотностью энергии в потоке и плотностью импульса ЭМ поля существует такая же связь, как для релятивистских безмассовых частиц.

Следствием обмена импульсом между материальными точками и полем является несохранение импульса чисто механической подсистемой. Поэтому может не выполняться условие равенства нулю главного вектора внутренних сил и, соответственно, III закон Ньютона.

Потенциалы эм поля

Уравнения для потенциалов ЭМ поля

Введем вспомогательную функцию (на опыте непосредственно не измеряемую!) , определяемую условием

которая называется векторным потенциалом ЭМ поля. Тогда уравнение Максвелла удовлетворяется тождественно ( ).

1. Введем эту величину в закон эм индукции Фарадея

отсюда

Это соотношение можно тождественно удовлетворить, вводя еще одну вспомогательную функцию , определяемую условием

Действительно, . называется скалярным потенциалом ЭМ поля. В результате мы уменьшаем число физически содержательных уравнений Максвелла до двух независимых уравнений с источниками.

Если потенциалы и известны, то и однозначно определяются с помощью операций дифференцирования.

Однако, сами потенциалы и определяются по и неоднозначно, т.к. эти определения представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. А общее решение таких уравнений содержит произвольные функции независимых переменных.

Действительно, взяв вместо и потенциалы

где - произвольная функция,

мы получим

и

Эта неоднозначность выбора потенциалов используется для упрощения уравнений поля и решения конкретных задач.

Итак, уравнения Максвелла без источников удовлетворяются тождественно.

Оставшиеся два уравнения с источниками в потенциальном представлении имеют вид

Используя векторное тождество

Первое уравнение преобразуется к виду

;

Где, используя неоднозначность в выборе потенциалов, можно потребовать выполнение условия

_,

существенно упрощающего уравнения для потенциалов.

Это условие называется калибровкой Лоренца.

Из нее следует

, что позволяет исключить из уравнения скалярного потенциала член, содержащий .

Таким образом, уравнения для и разделяются

Что существенно упрощает расчет поля. Уравнения этого типа называются уравнениями Даламбера. Их решения хорошо изучены.

Чтобы показать, что калибровке Лоренца всегда можно удовлетворить, допустим, что для имеющихся у нас и она не выполняется, т.е.

Тогда, выполняя преобразование к штрихованным потенциалам, и не меняющее и

_; ,

где – произвольна и, накладывая, на штрихованные потенциалы условия Лоренца

_,

получаем уравнение для

_.

Заметим, что определяется полученным уравнением не однозначно, а с точностью до слагаемого , удовлетворяющего уравнению

_{Решение уравнений для потенциалов ЭМ поля}

Постановка задачи

Заданы источники ЭМ поля и .

Нужно найти векторы и .

Схема решения