Энергия и импульс эм поля
Работа, совершаемая полем
Рассмотрим систему заряженных частиц и ЭМ поля, описываемую уравнениями Максвелла.
Приведем уравнения
движения частиц к интегралу энергии,
домножив их на
Преобразуем левую часть
Это означает, что элементарная работа силы Лоренца равна приросту релятивистской кинетической энергии материальных заряженных точек.
Т.о. энергия системы материальных точек изменяется за счет работы, совершаемой силами поля по их перемещению.
Для непрерывно распределенных зарядов работа, совершаемая полем в единицу времени, равна
,где
- объемная плотность мощности,
высвобождаемой полем.
Энергия ЭМ поля. Плотность и поток энергии ЭМ поля. Закон изменения энергии.
Домножим два
уравнения Максвелла на
и
,
как показано ниже
,
и вычтем из первого второе
С помощью
получим
.
Проинтегрировав это равенство по объему V, и меняя порядок применения операций дифференцирования по времени и интегрирования по объему (в предположении постоянства объема), получим
,
где в первом слагаемом, справа, осуществлен переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности с помощью теоремы Гаусса.
Полученная формула дает основание ввести понятия плотности энергии ЭМ поля
,
плотности потока энергии ЭМ поля (вектора Умова-Пойнтинга)
.
и соответствующих интегральных величин: энергии ЭМ поля в объеме V
потока энергии через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V
т.е. полной мощности, или интенсивности, излучения системы зарядов.
Тогда сама формула приобретает смысл закона сохранения энергии:
Убыль энергии поля в объеме V равна потоку энергии, выходящему из объема V и работе, совершаемой полем над зарядами в объеме V.
Дифференциальная формулировка закона сохранения энергии ЭМ поля имеет вид:
Отсюда следует, что движущиеся заряды можно рассматривать источником энергии:
если
, то энергия ЭМ поля расходуется на
совершение работы по увеличению
кинетической энергии заряженных частиц,
а если , то энергия ЭМ поля растет за
счет кинетической энергии заряженных
частиц.
Закон сохранения энергии изолированной системы поле-заряды
Под изолированностью понимается отсутствие потока энергии N через ограничивающую объем V поверхность. Этот поток может быть равен нулю в силу непроницаемости стенок объема V или в силу достаточно быстрого убывания потока энергии ЭМ поля в случае бесконечного объема V.
А именно, достаточным условием изолированности является убыль E и B быстрее, чем 1/r , где r-расстояние от центра рассматриваемой конечной системы зарядов, являющейся источником ЭМ поля.
Действительно,
выберем в качестве r
– расстояние от центра описанной вокруг
источников сферы. Тогда при 
система зарядов выглядит как точечный
объект:
1) точечный
электрический заряд с точки зрения
электрической составляющей поля и тогда
и
2) точечный магнитный
диполь с точки зрения магнитной
составляющей поля и тогда 
(магнитные заряды не существуют).
3) поток энергии
через поверхность сферы размера
ведет себя как 
при 
.
В результате получаем для изолированной системы
.
Работа, совершаемая полем над зарядами в изолированной системе, равна убыли энергии ЭМ поля в ней.
С учетом того, что эта работа, с другой стороны, равна приросту релятивистской кинетической энергии частиц, приходим к равенству
из которого следует закон сохранения энергии
В изолированной системе сохраняется сумма энергии поля и релятивистской энергии заряженных материальных точек.
В случае V первый интеграл является конечным, если и при r. Это условие выполняется для конечной системы зарядов.