Вариант 32
Задание 1.
Дана система линейных уравнений
Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Задание 2.
Даны векторы a(1; -2; 3), b(4; 7; 2), c(6; 4; 2) и d(14; 18; 6)в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Задание 3.
Даны координаты вершины пирамиды А1А2А3А4: A1 (6; 6; 5), A2 (4; 9; 5), A3 (4; 6; 11), A4 (6; 9; 3).
Найти:1)длину ребра А1А2; 2)угол между ребрами А1А2 И А1А4; 3)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4)площадь грани А1А2А3; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А1А2; 7)уравнение плоскости А1А2А3; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
Задание 4.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
;
.Задание 5.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а) у = ex cos x; б) x = 3 t – t3; y = 3 t3.
Задание 6.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f
(x)
=
.
Задание 7.
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
Вариант 33
Задание 1.
Дана система линейных уравнений
Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Задание 2.
Даны векторы a(4,14,6), b(6,2,16), c(4,-14,8), и d(32,28,54).в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Задание 3.
Даны координаты вершины пирамиды А1А2А3А4:А1(2,-1,1), А2(5.5,4), А3(3,2,-1), А4(4,1,3).
Найти:1)длину ребра А1А2; 2)угол между ребрами А1А2 И А1А4; 3)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4)площадь грани А1А2А3; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А1А2 ; 7)уравнение плоскости А1А2А3; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
Задание 4.
Найти производные данных функций.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
Задание 5.
Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).
а)
б)
.
Задание 6.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].
f(x)=-1/6x3-1/4x2+x-; [-3;2].
Задание 7.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с . При каком остром угле треугольника его площадь окажется наибольшей и чему она равна?
Вариант 34
Задание 1.
Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y – 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P(-1;0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
Задание 2.
Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А (5; 0) относятся как 2:1.
Задание 3.
Линия
задана уравнением в полярной системе
координат
Требуется:1)построить
линию по точкам, начиная от
до
и
придавая
значения
через промежуток
;
2)найти уравнение данной линии в декартовой
прямоугольной системе координат, у
которой начало совпадает с полюсом, а
положительная полуось абсцисс – с
полярной осью; 3)по уравнению в декартовой
прямоугольной системе координат
определить, какая это линия.
Задание 4.
Даны два линейных преобразования:
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x//1, x//2, x//3 через x1, x2, x3.
Задание 5.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.
а)
б)
Задание 6.
Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости линии r = r (t) в точке t0.
