Контрольная работа №1

а)

б)

в)

г)

_д)

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = x / (x²-1); б) x = cos (t / 2); y = t – sin t.

_а)

_в)

г)

д) .

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = ln ctg2x; б) x = t³ + 8t; y = t⁵ +2t.

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 7.

Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

Вариант 3

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы а(8; 2; 3), b(4; 6; 10), c (3; -2; 1) и d (7; 4; 11) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ :A₁ (4; 6; 5), A₂ (6; 9; 4), A₃ (2; 10; 10), A₄ (7; 5; 9).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти производные данных функций.

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = x³ ln x; б) x = t – sin t; y = 1 – cos t.

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 7.

Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2в. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Вариант 4

а)

б)

в)

г) ;

д)

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) у = xe^-x ; б) x = ln t; y = .

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

_f (x) =

Задание 7.

Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно р₁ руб., а стенок р₂ руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материалы для его изготовления были наименьшими?

Вариант 5

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 2; 3), b (2; -3; 1), c (-1; 2; 1), d (2; 2; 8)в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄:A₁ (6; 6; 2), A₂ (5; 4; 7), A₃ (2; 4; 7), A₄ (7; 3; 0).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти производные данных функций.

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 7.

Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

Вариант 6

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (4; 2; 5), b (-3; 5; 6), c (2; -3; -2), d (8; 11; 13) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄: A₁ (3; 3; 4), A₂ (6; 9; 1), A₃ (1; 7; 3), A₄ (8; 5; 8).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти производные данных функций.

Задание 5.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = g(t).

а) у = e^ctg3x; б) x = 3 cos t ; y = 4 sin² t.

Задание 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f (x) = .

Задание 7.

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости, будет иметь наименьшую полную поверхность?

Вариант 7

Задание 1.

Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) Методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Задание 2.

Даны векторы a (1; 3; 2), b (3; -1; 5), c (-6; 5; -3), d (12; -10; 6) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Задание 3.

Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ : A₁ (1; 8; 2), A₂ (5; 2; 6), A₃ (5; 7; 4), A₄ (4; 10; 9).

Найти:1)длину ребра А₁А₂; 2)угол между ребрами А₁А_{2 И} А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой А₁А₂ ; 7)уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

Задание 4.

Найти производные данных функций.