О.О.П / ооп / 4_кол / К курсовой / Методи побудови алгоритмів та їх аналіз. Караванова Т.П. / 24_41

Однак слід зазначити, що у результаті виконання такої програми ми не отримаємо виведення всіх можливих варіантів у лексикографічному порядку.

Тестування алгоритму одержання всіх можливих розмі­ щень на М місцях із N різних предметів аналогічне тестуванню попередніх алгоритмів.

Завдання

1.Розробити і реалізувати у вигляді програми алгоритм визна­ чення кількості всіх можливих розміщень.

2.Розробити і реалізувати у вигляді програми алгоритм гене­ рації всіх можливих варіантів розміщень.

3.Виконати завдання 1 та 2 для множини елементів 1, 2, 3, 4, 5 та М = 3, вивівши результат виконання програми у файл.

4.Модифікувати програми у завданнях 2-3 для множини різних символів.

5.Модифікувати програми у завданнях 2-3 для множини різних слів,

6.Зробити письмовий аналіз виконання завдань 1-5.

Повна вибірка

Повною вибіркою назвемо всі можливі вибірки по М елементів (1 < М ^ N) із N заданих. Хоча на перший погляд для розв'язан­ ня даної задачі можна застосувати розглянуті вище алгоритми, але насправді є ефективніший та простіший алгоритм.

Розглянемо випадок, коли N = 4. Давайте визначимо, які є варіанти вибірки по одному елементу: 1000, 0100, 0010, 0001. Якщо зробимо вибірку будь-яких двох елементів з чотирьох за­ даних, то одержимо: 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011. Вибірка по три елементи виглядатиме так: 1110, 1101, 1011, 0111. Вибірка чотирьох елементів з чотирьох можливих буде такою: 1111. А тепер давайте розмістимо всі ці значення у лек­ сикографічному порядку:

0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100,1101, 1110,1111.

Мабуть, відповідь на поставлене запитання вже зрозуміла! Ми отримали чотиризначні двійкові числа у порядку зростан­ ня. Отже, для одержання всіх можливих вибірок із заданих N елементів необхідно реалізувати алгоритм додавання чис­ ла 1 у двійковій системі числення до двійкового числа, розрядність якого складає N. Стартовим числом має бути двійкове число розрядності ./V зі значенням 1: 0~Л)1-

J V - 1

34

Неважко також підрахувати і кількість таких вибірок. Як­ що у N позиціях різними способами розміщувати два елементи 0 та 1, то кількість варіантів таких розміщень буде визначати­ ся формулою К - 2N.

Цей зовсім нескладний алгоритм можна представити таким фрагментом Pascal-програми:

if a[j] = 1 then write(f_out, b[j], " ) ; writeln(fout);

end;

Трапляються задачі, в яких можна використовувати цей алгоритм у дещо іншому призначенні. Наприклад, відомо, що необхідно визначити, скількома способами можна розмістити квіти трьох видів у 4 вазах. Якщо позначити види квітів циф­ рами 1, 2, 3, то варіанти будуть такими: 0001, 0002, 0003, 0010, 0011, 0012, 0013, 0020, 0021, 0022, 0023, 0030, 0031, 0032, 0033, 1000, 1001, 1002, ..., 3333. Із наведеної послідовності можна зробити висновок, що йдеться про додавання цифри 1 у трійковій системі числення. Тобто наведений вище алгоритм необхідно модифікувати для варіанта такого додавання, а кіль­ кість можливих варіантів становитиме 3^.

Так само, як ми це робили у попередніх випадках, протес­ туємо алгоритм одержання всіх можливих вибірок для N = 4.

Відповідь, що буде виведена у вихідний файл, може бути візу­ ально перевірена. Будь-які інші тести для великих N усклад­ нюються як перевіркою кількості одержаних вибірок, їх зна­ ченнями, так і часом виконання самого алгоритму.

І насамкінець ще раз нагадаємо, що переважна більшість розглянутих алгоритмів має факторіальну оцінку ефектив­ ності їх роботи 0(п\), що ускладнює їх використання для вели­ кої кількості елементів.

Завдання

1.Розробити і реалізувати у вигляді програми алгоритм визна­ чення кількості повних вибірок.

2.Розробити і реалізувати у вигляді програми алгоритм гене­ рації повних вибірок.

3.Виконати завдання 1 та 2 для множини елементів 1, 2, 3, 4, 5, вивівши результат виконання програми у файл.

4.Модифікувати програми у завданнях 2-3 для множини різних символів.

5.Модифікувати програми у завданнях 2-3 для множини різних слів.

6.Зробити письмовий аналіз виконання завдань 1-5.

1.Що вивчає комбінаторика як розділ математики?

2.Які основні поняття комбінаторики ви можете назвати?

3.Що визначають основні поняття комбінаторики?

4.Які алгоритмічні задачі називають комбінаторними? Наведіть власні приклади комбінаторних алгоритмічних задач.

5.Запишіть формули для обчислення кількості перестановок для N елементів, розміщень та сполучень для М елементів з N мож­ ливих.

6. Як вивести формулу для обчислення кількості перестановок

N елементів?

7.Що називається лексикографічним порядком на множині всіх перестановок? Наведіть власні приклади.

8.Який алгоритм можна застосувати для отримання всіх варіантів перестановок на множині заданих значень у лексикографічному порядку? Продемонструйте свою відповідь графічно.

9.Запишіть процедуру мовою Pascal, яка реалізує алгоритм ви­ значення всіх перестановок.

10.Як організувати виклик процедури одержання всіх перестановок в основній програмі? Запишіть фрагмент Pascal-програми.

11.Яким є алгоритм визначення всіх вибірок М елементів із N за­ даних?

12.Як необхідно модифікувати алгоритм одержання всіх пере­ становок, щоб використати його для визначення вибірок? Запи­ шіть цю процедуру мовою Pascal.

36

13.Яким чином можна підрахувати кількість вибірок М елементів із Л/ заданих?

14.Запишіть фрагмент Pascal-програми, яка, використовуючи про­ цедуру формування всіх перестановок, дає можливість одержа­ ти всі вибірки М елементів із N заданих.

15.Як одержати всі розміщення М елементів із N заданих? Які алго­ ритми для цього можна застосувати?

16.Запишіть фрагмент Pascal-програми, що реалізує алгоритм одержання всіх розміщень М елементів із N заданих.

17.Що розуміється під повною вибіркою?

18.Який алгоритм можна застосувати для одержання повної вибір­ ки з N заданих елементів? Обґрунтуйте свою відповідь, навівши власні приклади.

19.Запишіть процедуру, що реалізує алгоритм одержання повної вибірки з N заданих елементів, мовою Pascal.

20.Запишіть мовою Pascal фрагмент програми, що використовує процедуру одержання повної вибірки з N заданих елементів.

21. У яких алгоритмічних задачах можна застосувати ідею побудови алгоритму, що визначає повні вибірки з N заданих елементів? Наведіть власний приклад такої задачі.

37

Розділ III

INP-ПОВНІ ЗАДАЧІ

Розглядаючи різні методи сортування масивів, ми нама­ галися досягнути створення найоптимальніших алгоритмів, щоб вирішувати це завдання. Крім цього, ми надавали перева­ гу тим з них, які розв'язують поставлену задачу за найменший час, і аналізували при цьому кількість виконуваних ними дій.

Пошукові алгоритми та алгоритми сортування, що розгля­ далися раніше, відносяться до алгоритмів класу Р, тобто алго­ ритмів, що виконуються за поліноміальнии час. Нагадаємо, що поліномом називається вираз а^р" + ап _ хрп х + ... + агр + а0 . Так, ми вже знаємо, що всі зазначені вище алгоритми мають оцінку ефективності 0(п), 0(п2) тощо. А це і є поліноміальною складністю алгоритму. Оскільки час виконання таких алго­ ритмів досить невеликий, то такі задачі ще називають практич­ но розв'язуваними.

Але чи для всіх задач можна віднайти такі алгоритми? Чи для розв'язання будь-яких задач існують алгоритми, час ви­ конання яких на комп'ютері можна виміряти секундами або хоча б хвилинами? Виявляється, що ні. Існують задачі, для яких на сьогоднішній день невідомі алгоритми, що визначають результат за реально вимірюваний час, або, як ще кажуть, за розумний час. Такий клас задач носить назву NP, і з ним ми ознайомимося у даному розділі.

Задачі, що відносяться до класу NP, мають недетерміновану поліноміальну складність виконання. Розтлумачимо поняття «недетерміновані поліноміальні», що характеризують задачі класу NP. Процес пошуку розв'язку таких задач можна роз­ бити на два етапи.

Перший етап передбачає пошук можливого розв'язку за­ дачі. Подекуди цей пошук зводиться до банального вгадування шуканого розв'язку або ж обміркованого вибору одного із мож­ ливих його варіантів. Другий - перевірку того, чи справді цей розв'язок є шуканою відповіддю до поставленої задачі. Кож­ ний з обох кроків окремо вимагає поліноміального часу. Однак, на жаль, ми не знаємо, скільки разів нам необхідно буде повто­ рити ці спроби, щоб отримати шуканий розв язок.

38

Найчастіше кількість спроб, які необхідно зробити для одер­ жання шуканого розв'язку задачі, дорівнює 2N або N1, де N - кількість вхідних даних. У цьому випадку збільшення вхідних даних лише на один елемент приводить до подвоєння спроб по­ шуку розв'язку або до збільшення їх у (N + 1) разів. Це набага­ то більше, ніж поліноміальна складність алгоритму. Напри­ клад, якщо N = 10, то 102 = 100, а 21 0 = 1024 та 10! = 3 628 800. Коментарі до наведених прикладів зайві.

Отже, можна зробити висновок, що для отримання шукано­ го розв'язку задачі, що відноситься до класу NP, необхідно пе­ ребрати всі можливі варіанти таких розв'язків і, порівнюючи отримані відповіді, вибрати шукану. Якщо ми говорили, що за­ дачі класу Р називаються практично розв'язуваними, то навіть при не дуже великій кількості вхідних даних задачі класу NP можуть практично не розв'язуватися.

Ті задачі, для яких не знайдено поліноміального алгоритму розв'язку, називаються NP-повними. Але, з іншого боку, не можна стверджувати, що таких поліноміальних розв'язків не існує. Вивчення NP-повних задач на сьогоднішній день є однією з найцікавіших і складних проблем теорії обчислень. Будемо говорити, що якщо для деякої задачі не вдалося знайти поліноміального розв'язку, то вона є NP-повною і є підстави вважати її практично не розв'язуваною. Які можуть існувати шляхи виходу із ситуації, що складається навколо NP-повних задач? Можливо, краще витратити час на побудову наближено­ го алгоритму розв'язання даної задачі або обмежитися перебо­ ром усіх можливих розв'язків для одержання шуканої відпові­ ді при невеликій кількості вхідних даних.

Наведемо далі кілька прикладів задач, що відносяться до класу NP.

Задача про комівояжера

Відома відстань між будь-якою парою ./V міст. Стартуючи з будь-якого міста, комівояжер повинен побувати в решті (N - 1) міст лише по одному разу і повернутися у місто, з якого він по­ чав свою подорож. Треба знайти найкоротший маршрут відвідання всіх заданих міст.

Наша задача зводиться до того, щоб перебрати всі можливі ва­ ріанти послідовностей об'їзду N міст, одночасно додаючи відстані між цими містами. Одержавши і порівнявши всі одержані довжи­ ни шляхів, необхідно буде вибрати серед них найменшу (мал. 4).

Для перебору всіх можливих варіантів об'їзду N міст слід використати алгоритм генерації перестановок їх порядкових номерів. Для кожного із цих варіантів будемо рахувати суму довжин відстаней між сусідніми містами у визначеній пере-

39

Мал. 4

становці. У результаті задача зводиться до пошуку мінімально­ го значення серед довжин усіх можливих маршрутів комівоя­ жера.

Як підрахувати довжину поточного маршруту? Нехай, на­ приклад, для N = 5 поточний маршрут визначається такою по­ слідовністю номерів міст: 2 5 1 3 4. Тоді довжина маршруту може

бути представлена таким чином: d[2 5] + cL5 Х] + d„ 3] + <і[3 4] + d[4 2] . Як бачимо, необхідно не забувати про те, що комівояжер пови­

нен повернутися у місто, з якого він почав свій об'їзд: d[4 2] . До речі, згідно з наведеним прикладом, можна стверджувати, що об'їзд починається і завершується у місті з номером 2.

Визначимо кількість можливих маршрутів для N міст. Оскільки будь-який із цих маршрутів повинен починатися і за­ вершуватися в одному і тому самому місті, то перестановкам підлягають всі решта (N - 1) міст. Тому кількість можливих маршрутів дорівнює (N - 1)!.

Схематично всі можливі варіанти об'їзду 5 міст, зображених на малюнку 4, починаючи і завершуючи їх у місті з номером 1, можна представити так, як це показано на малюнку 5.

На малюнку 5 можемо побачити, що при кількості міст 5 кіль­ кість можливих маршрутів їх об'їзду складає 24. Серед них як мінімум один є найкоротшим.

Мал. 5

40

Ми вже ознайомилися з такою структурою даних, як дерево. Тому, проаналізувавши схему, зображену на малюнку 5, можна зробити висновок, що розв'язок задачі про комівояжера пред­ ставляється у вигляді дерева, вершиною якого є номер міста, з якого починається об'їзд, починаючи з кореня дерева, у якому вершини на кожному рівні мають відповідно (N - 1),(N - 2), ..., 2, 1 нащадків. Особливістю даного дерева є те, що термінальною вершиною є вершина, з якої починається об'їзд усіх міст.

Наведемо фрагмент тексту Pascal-програми, що реалізує описаний алгоритм:

Ініціалізацію початкового стану нашої задачі можнаї вико­ нати такою послідовністю команд:

f : = 1 ; m i n : = 0 ; {Ініціалізація підрахунку значення факторіалу та довжини початкового}

Для одержання стартового значення довжини маршруту, що відповідає першій перестановці заданих міст, можна виконати таку послідовність команд:

for і := 1 to п - 1 do begin

min := min + d[a[i], a[i + 1]]; f :=f *i;

end;

min:=min + d[a[n],a[1]]; b :=a;

41