3.3 Определение средних показателей динамики

Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются средние величины.

1. Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней. В интервальных рядах динамики средний уровень определяется как средняя арифметическая величина уровней ряда:

= , (3.10)

где n – количество уровней ряда динамики.

В рассматриваемом примере средний уровень ряда динамики составляет:

= = 3,8976 млн., шт.

2. Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики и определяется как средняя арифметическая величина цепных абсолютных приростов:

= (3.11)

В нашем случае средний абсолютный прирост ряда динамики составляет:

= = 0,194 млн., шт.

3. Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики, определяется как средняя геометрическая величина:

(3.12)

В нашем случае средний темп роста составляет:

= = 1,052

4. Средний темп прироста определяется на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о среднем темпе роста для определения среднего темпа прироста используется зависимость:

= - 1 (3.13)

В нашем случае средний темп прироста составляет:

= 1,052 - 1 = 0,052

Положительное значение абсолютного прироста ряда динамики говорит о ежегодном увеличении объема перевозок, о чем свидетельствуют средний темп роста 105 % [8].

3.4 Изучение основной тенденции развития

Изменения уровней рядов динамики обусловлены влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые, как правило, неоднородны по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучаемые явления и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется периодически; это вызывает повторяемые во времени колебания различных уровней рядов динамики. Действие разовых (спорадических) факторов отображается случайными (кратковременными) изменениями уровней рядов динамики.

Различные результаты действия постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений во времени обуславливают необходимость изучения основных компонентов рядов динамики:

1. Тренд – основная тенденция развития, на которую оказывают воздействие постоянно действующие факторы.

2. Колебания уровней ряда – возникают в следствии действия факторов, проявляющихся через определенный промежуток времени.

3. Случайные изменения ряда динамики – возникают из-за разового влияния случайных факторов.

Основная тенденция развития наглядно представляет направления и интенсивность изменения явления.

Метод аналитического выравнивания – основной метод выявления тренда – использует метод наименьших квадратов, поэтому основная тенденция развития y(t_i) рассчитывается как функция времени:

y(t_i) = f(t_i) +ε. (3.14)

Для вычисления параметров прямолинейной функции на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

(3.15)

Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета от условного нуля. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы = 0. Тогда параметры уравнения прямолинейной функции рассчитываются по формулам:

а₀ = , а₁ = (3.16 – 3.17)

Рассчитаем параметры линейного уравнения тренда a₀ и а₁ для данных, приведенных в таблице 3.2. Для этого в таблице 3.3. осуществим промежуточные расчеты.

Таблица 3.3 – Матрица определения параметров линейного уравнения тренда

Период	Кол-во вагонов, млн., шт	Порядковый номер периода	Расчетные графы
	yi	ti	yiti		y(ti)	(yi – y(ti))2
2011	3,884174	- 3	-11,652522	9	4,71338365	0,687589
2012	3,929509	- 1	-3,929509	1	4,81912855	0,791423
2013	4,067683	1	4,067683	1	4,92487345	0,734775
2014	4,190599	3	12,571797	9	5,03061835	0,705633
Итого	19,488004	0	1,057449	20	19,488004	2,91942

Тогда параметры линейного уравнения тренда а₀ и а₁ примут значения:

а₀ = = 4,872;

а₁ = = 0,0529.

Прямолинейное уравнение тренда примет вид:

y(t_i) = 4,872 + 0,0529 t_i .

Для проверки адекватности математической функции рассчитывается стандартизированная ошибка аппроксимации :

= (3.18)

В таблице 3.2 приведены необходимые расчеты для определения такой ошибки.

тогда она принимает значение:

= = 0,854315 млн., шт.

Для уточнения значимости уравнение тренда рассчитывается относительная ошибка аппроксимации:

= 100 (3.19)

В нашем случае, среднее значение уровня ряда для кварталов составляет:

= = 4,872

Тогда относительная ошибка аппроксимации составит:

= 100 = 17,5 % .

Таким образом, положительное значение параметра а₁ свидетельствует об увеличивающейся тенденции развития, т.е. каждый последующий квартал характеризуется увеличением количества вагонов в среднем на величину 0,053  2 = 0,105745 млн., шт. (а₁  [шаг]). Абсолютные и относительные ошибки аппроксимации свидетельствуют о достаточно точном отображении основной тенденции развития ( ).

На рисунке 3 столбиковой диаграммой представлены реальные уровни изучаемого явления – изменения количества вагонов во времени, линейной диаграммой представленные уровни, выровненные при помощи уравнения динамики.

Рисунок 3.1 – Динамика количества вагонов с учетом изменений

по годам

Изображение свидетельствует о том, что линейное уравнение динамики достаточно хорошо отображает годовые изменения.

Общее количество вагонов за 2013 и 2014 года, составляет 4067683 и 4190599 млн. шт., что также свидетельствует об их росте.

С помощью метода аналитического выравнивания выявлена основная тенденция количества перевезенных вагонов, которая в период с 2013-2014 гг. положительна и, так как количество продолжает расти, то и тенденция сохранится. Трендовые показатели за этот период составили а0 – 4,872 единиц, а а1 – 0,0529. Составленный на основе «Метода средних индексов» прогноз показал, что в 2015 году количество вагонов постепенно будет расти.