Теплопередача через многослойную плоскую стенку при граничных условиях III-рода
Пусть
заданы температуры сред
и
,
коэффициенты теплоотдачи
и
(закон теплообмена), коэффициенты
теплопроводности
,
и
,
толщина слоёв стенки
,
и
.
Аналогично формуле (3.9) записывают уравнение сохранения плотности теплового потока q, выражая разность температур и складывая почленно полученные выражения плотности теплового потока
,
. (3.17)
Коэффициент
теплопередачи: 
(3.19)
Из
уравнения (3.16), определяя плотность
теплового потока, находим температуры
на поверхностях стенки
,
и температуры на границах слоёв
,
.
5 Теплопроводность через цилиндрическую однородную, однослойную стенку при граничных условиях I-рода.
Ось OZ совмещаем с осью цилиндра, и температура меняется только вдоль радиуса цилиндра.
Для
полого цилиндра заданы: внешний (
)
и внутренний (
)
радиусы, коэффициент теплопроводности
(),
температуры холодной и горячей стенок
(
и
).
Требуется найти: уравнение, описывающее температурное поле в цилиндре, т.е. изменение температуры в зависимости от диаметра d (радиуса r), а также плотность теплового потока q и сам тепловой поток Q.
На основании дифференциального уравнения теплопроводности при стационарном режиме и отсутствии внутренних источников теплоты (2.10), учитывая, что первая и вторая производные температуры по z равны нулю
,
,
а также то, что температура не зависит от полярного угла , то уравнение Лапласа в цилиндрических координатах (2.10) упрощается до вида
. (4.1)
Граничные условия дифференциального уравнения:
при
;
при
.
Введём новую переменную
,
тогда дифференциальное уравнение (4.1) будет иметь вид:
.
Интегрируем данное выражение:
.
Тогда, потенциируя это выражение и переходя к первоначальным переменным мы получаем:
.
После интегрирования получаем:
. (4.2)
Для
определения постоянных интегрирования
и
воспользуемся граничными условиями:
(а)
Решая уравнение (а) относительно и , получаем
, (б)
, (с)
Подставляя в (4.2) значения и , получаем окончательное решение дифференциального уравнения
. (4.3)
Это решение описывает распределение температуры в цилиндрической стенке. Это логарифмическая кривая (рис. 4.1). Задавая произвольным диаметр, можно определить температуру в любой точке цилиндрической поверхности.
Согласно закону Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры (температура меняется только вдоль радиуса):
;
,
Вт. (4.4)
Из
этого выражения следует, что тепловой
поток полностью определяется внутренним
и наружным диаметрами цилиндра (
и
).
Тепловой поток может быть отнесён к единице длины цилиндра
,
. (4.5)
(линейная
плотность теплового потока) – это
количество теплоты, проходящее через
цилиндрическую поверхность путём
теплопроводности через единицу длины
Тепловой
поток может быть отнесён к внутренней
поверхности цилиндра
,
. (4.6)
Тепловой
поток, отнесённый к наружной поверхности
цилиндра
,
. (4.7)
Связь между различными приведёнными плотностями теплового потока следующая
, (4.8)
,
т.к.
.
Следовательно, в отличие от плоской стенки плотность теплового потока непостоянна по толщине цилиндрической стенки и определяется текущим диаметром цилиндра (чем больше текущий диаметр, тем меньше плотность теплового потока).
Если
коэффициент теплопроводности не является
величиной постоянной, а зависит от
температуры по зависимости
,
то температурное поле, т.е. линии изменения
температуры в цилиндрической стенке,
на любом диаметре может быть определено
из следующего выражения
. (4.9)
Подставляемые
в выражение (4.9) значения
и
берутся из справочников.