4 Средние показатели рядов динамики

Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений рассчитываются средние величины: средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней. Методы расчета этого показателя зависят от вида ряда динамики.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящими уровнями во времени расчет производится по формуле средней арифметической простой:

.

(7.1)

Так, в таблице 7.8 приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. Среднегодовой уровень производства обуви за 1992-1997гг. будет равен 93,2 млн. пар, т.е. = 559/6.

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие уровни, то средний уровень ряда вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

,

(7.2)

где t - длительность интервала времени между уровнями.

Пример: С 01.04.99 по 20.04.99г. в списочном составе работников предприятия числилось 190 человек, с 21.04.99 и до конца месяца -186 человек.

Среднедневная (списочная) численность работников составит:

человек.

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

,

(7.3)

где n - число уровней ряда.

Так, в таблице 2 приведен моментный ряд динамики с равноотстоящими уровнями.

Среднеквартальные остатки вкладов населения будут определены следующим образом:

Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по средней хронологической взвешенной

.

(7.4)

Покажем расчет среднего уровня такого ряда.

Пример:

Известна списочная численность работников (человек) на:

01.01.07		01.03.07		01.05.07		01.08.07		01.01.08
200		195		190		181		194

Среднегодовая численность работников за 1999 год составит;

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам:

(7.5)

или

,

(7.6)

где n - число абсолютных приростов цепных; n-1 - число уровней ряда.

Средний темп роста.

,

(7.7)

где К - средний коэффициент роста, рассчитанный по формулам:

(7.8)

или

,

(7.9)

где n - число индивидуальных цепных коэффициентов роста; n-1 - число уровней ряда.

Например, средний темп роста производства обуви за 1992-1997гг. (табл. 9) составит:

Средний темп прироста определяется по формуле:

.

5 Выявление основной тенденции ряда динамики

Одна из важнейших задач анализа ряда динамики заключается в установлении закономерностей развития явления или процесса. В этих целях определяется основная тенденция развития (тренд).

Для выявления основной тенденции применяются различные приемы и методы. Одним из приемов является метод укрупнения интервалов. Он заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды более продолжительных периодов (месячные в квартальные, квартальные в годовые и т.д.) Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой прием - метод скользящей средней. Его суть состоит в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д.

При расчетах среднего уровня как бы "скользят" по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая, один уровень в начале и добавляя один следующий.

На примере данных табл. 10 произведем сглаживание ряда методом трехчленной скользящей средней.

Таблица 10 - Сглаживание реализации фирмой продукта М за 1991 - 1999 гг. методом скользящей средней

Год	Тыс. шт.	Трехчленные скользящие суммы	Трехчленные скользящие средние
А	1	2	3
1991	375	-	-
1992	263	-	311,7
1993	297	935	269,0
1994	247	807	290,0
1995	326	870	313,0
1996	366	939	344,3
1997	341	1033	337,3
1998	305	1012	315,0
1999	299	945	-

Взяв данные за первые три года, исчисляем трехчленные суммы (гр.2 табл. 7.9), а затем средние (гр.3 табл.7.9);

и т.д.

Нанесем на график исходные и выравненные уровни.

Рис. 7.1 Динамика реализации продукта М фирмой "Рубин" за 1991 - 1999 гг.

Как видно из рисунка 7.1, скользящая средняя дает более плавное изменение уровней ряда.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом основная тенденция развития у_t рассчитывается как функция времени

Определение теоретических (расчетных) уровней ^уt_i производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики.

Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов - минимальностью отклонений суммы квадратов между теоретическими ^уt_i уровнями:

.

(7.11)

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на следующем примере.

В таблице 11 приведены исходные и расчетные данные о розничном товарообороте региона за 2003-2007 гг.

Таблица 7.10

Годы	Млрд. руб.	t	t2	ty	yt
2003	16,4	-2	4	-32,8	16,34
2004	16,9	-1	1	-16,9	17,02
2005	17,8	0	0	0	17,70
2006	18,3	1	1	18,3	18,38
2007	19,1	2	4	38,2	19,06
Итого	88.5	-	10	6,8	88,50

Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение у_t = a_о + а₁t Для упрощения расчетов параметры уравнения могут быть определены с помощью способа отсчета от условного нуля, суть которого заключается в том, что показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. t=0. [12, 378-379]

Параметры уравнения рассчитываются по формулам:

a0=y/n;

(7.12)

a1=ty/t2.

(7.13)

Расчет необходимых значений дан в таблице 7.10.

По итоговым данным получаем параметры уравнения:

a₀=88,5/5=17,7; a₁=6,8/10=0,68.

В результате получаем следующее уравнение основной тенденции розничного товарооборота региона за 2003-2007гг:

у_t= 17,7+0,68.

Подставляя в уравнение принятые обозначения t, вычислим выравненные уровни ряда динамики:

2003г - у₁ = 17,7 + 0,68 · (-2) = 16,34

Нанесем на график исходные и теоретические значения уровней ряда динамики.

Рис. 7.2 Динамика розничного товарооборота региона в 2003-2007гг.