7.4. Уравнение переноса в газах. Теплопроводность

С макроскопической точки зрения явление теплопроводности в газах заключается в переносе некоторого количества тепла Q от более горячей области пространства с температурой Т₁ к более холодной с Т₂. Если изменение температуры Т происходит в направлении оси х (рис. 7.6), то через площадку S, перпендикулярную к оси х, будет перенесено количество тепла Q тем большее, чем больше площадка S и чем большее время t наблюдается перенос тепла.

С молекулярно-кинетической точки зрения теплопроводность заключается в том, что молекулы из более горячих областей, где они имеют среднюю кинетическую энергию Е₁  , проникая в более холодный слой с Т₂  Т₁ , передают молекулам этого слоя некоторое количество кинетической энергии. Это указывает на то, что переносимой физической характеристикой  в уравнении переноса (7.13) является энергия Е или количество теплоты, которым «поделилась» молекула, попав в область пространства с температурой Т₂, т. е.   Е₁  . Тогда уравнение переноса (7.13) для теплопроводности может быть записано в виде:

.

Здесь (NE₁) – количество тепла Q, перенесённое молекулами из области пространства с температурой Т₁ ( ₁) (рис. 7.6) через площадку S в направлении оси х за время  t.

В приведённой записи переменной величиной является только температура. Введя коэффициент теплопроводности æ , приходим к уравнению, отражающему явление теплопроводности в газах:

_{æ . (7.15)}

Введённый нами через характеристики микрочастиц (молекул) коэффициент теплопроводности

æ (7.16)

может быть приведён в другому виду. Действительно, если учесть, что постоянная Больцмана k  R/N_A, число частиц в единице объёма n   /М, а , где М – молярная масса, то настойчивый читатель, проведя несложные преобразования, преобразует выражение (7.16) к виду:

æ . (7.17)

При проведении преобразований пытливый читатель не должен забывать, что , а ; здесь М – молярная масса (сомневающийся читатель может проверить по размерности).

В заключение заметим, в отличие коэффициента диффузии D коэффициент теплопроводности газа æ не зависит от давления. Это следует из того, что плотность  прямо пропорциональна, а средняя длина свободного пробега  обратно пропорциональна давлению газа p. Проверили?

7.5. Уравнение переноса. Вязкость газов

Интуитивные представления о вязкости жидкости каждый человек вырабатывает на основании повседневного опыта. Например, при использовании растительного масла, молока и других жидкостей. Вязкость или внутреннее трение, свойство жидкостей, характеризующее сопротивление действию внешних сил, вызывающих их течение. Вязкость проявляется в том, что при сдвиге соседних слоёв среды относительно друг друга возникает сила противодействия – напряжение сдвига. Прочувствовать это можно наблюдая за истечением воды или масла растительного.

Рассмотрение предыдущих параграфов данной главы даёт основания утверждать, что такое свойство должно быть характерно и для газов. Это следует хотя бы из того, что газоподобные системы, представленные сами себе, в конце концов, переходят в устойчивое состояние теплового равновесия. Если при этом в газе имеются отдельные потоки, обладающие разной локальной скоростью относительно друг друга, то будет возникать препятствующая движению сила сопротивления.

Первым этапом приближения к тепловому равновесию газа является обмен импульсом между «быстрыми» и «медленными» молекулами. Что это значит? В газовой среде в разных точках её пространства возможно движение отдельных струй газа, обладающих разной дрейфовой скоростью. Другими словами, в объёме пространства среды есть отдельные струи газа, движущиеся вдоль оси Х с некоторой локальной скоростью; будем обозначать её u_х(z) и эта скорость «чувствительна» к положению в потоке. На рис. 7.7 представлены потоки слоёв с различной дрейфовой скоростью u_х(z) как выше, так и ниже выделенной площадки S.

Не будем забывать, мы интересуемся только той частью переноса импульса, которая связана со столкновением молекул, но не с движением среды как целого. Итак, участвуя в перемещении элемента объёма газа как целого вдоль оси Х, молекулы газа участвуют и в хаотическом движении. Хаотические столкновения молекул (см. рис. 7.1) сопровождаются их перемещением из одного потока в другой, в результате чего дрейфовые скорости в двух соседних потоках постепенно уравниваются. Почему? Вследствие обмена молекулами между струями (потоками), находящимися на расстоянии длины свободного пробега  выше и ниже слоя с координатой z  z₀, происходит перенос импульса элемента объёма газа; молекулы «медленно» движущегося слоя проникают в «быстро» движущийся слой и наоборот; между молекулами происходит обмен импульсами. На опыте удобнее следить за дрейфовой (локальной) скоростью элемента объёма газа u_х, следовательно, в уравнении (7.13) переносимой физической характеристикой  является импульс частицы, т.е.   mu_i(z). Осознав переносимую физическую величину  в уравнении (7.13), перейдём к его преобразованию.

Поскольку каждая молекула испытывает последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега  (рис. 7.7) импульс, переносимый через площадку S за время t, запишется: (N)  (Nmu(z))   (Nр_i); здесь m –, как догадался пытливый читатель, масса молекулы, а р_i – её импульс в соответствующем слое. Суммарное изменение импульса запишется: р  (Nр_i).

Каждый процесс переноса импульса связан с отклонением скорости частицы от её постоянного равновесного значения, т. е. определяется его темпом. И тогда в правой части уравнения (7.13) темп изменения импульса может быть представлен в виде: ; здесь мы воспользовались тем, что дрейфовая скорость частиц в потоке одинакова. И тогда перенос импульса р между струями газа (рис. 7.7) запишется:

р  –  .

Поскольку скорость  (7.5), длина свободного пробега  (7.10), m – масса молекулы газа являются характеристиками сортности газа, а n – концентрация частиц в единице объёма (7.8), то с учётом того, что mn    – плотности газа, уравнение переноса импульса принимает вид:

р  –  .

Из второго закона Ньютона, формула (2.2), настойчивый читатель после преобразований приходит к формуле для силы вязкого трения вида:

F_{вяз. тр.}   S; (7.18)

здесь  – коэффициент вязкости, равный   , а F_{вяз. тр.}  , S – величина поверхности, по которой действует сила F_{вяз. тр.}.

Если переписать формулу (7.9) в виде: , то для двух различных состояний газа следует, что . Ранее [3, с. 83] показано, что изменение энтропии

. Видоизменим эту формулу, учитывая, что сумма логарифмов равна логарифму произведений, приходим к уравнению вида

. Если учесть, что

, приходим к выражению , или

.

Заменим отношение объёмов в выражении изменения энтропии на отношение чисел столкновений (с. 113) , и тогда изменение энтропии идеального газа через число столкновений примет вид:

. (7.19)

Таким образом, явления переноса связаны с изменением энтропии. Вместе с тем, эти процессы могут быть не связаны с теплообменом между системой и окружающей средой и всегда ведут к увеличению энтропии. Из уравнения (7.19) также следует, увеличение энтропии может сопровождаться уменьшением числа столкновений между молекулами.