4.3. Относительность одновременности

Для завершения анализа свойств пространства и времени в движущихся инерциальных системах отсчёта (ИСО) целесообразно исходить не из очевидных соображений, а из твёрдо установленных на опыте фундаментальных принципов физики, принципов – инерции, относительности, существования предельной скорости. Из них, в частности, следует, что универсальная процедура синхронизации часов в произвольной ИСО может осуществляться светом и при этом с  V, но необязательно с V.

С этой целью выведем формулы временных интервалов, отражающих события на плоскости Хt в двух ИСО – движущейся и условно неподвижной. Поскольку преобразования Галилея являются приближёнными, нет никаких оснований заранее предполагать, что периоды одинаково устроенных часов, измеренные в разных ИСО, одинаковы. Единственное, на что здесь можно опираться, это на совпадение скоростей света в двух ИСО: с^/  с.

Обратимся к случаю когда система S^/ (рис. 4.2) движется со скоростью V в направлении оси Х системы S и сравним интервалы времени t и t^/ ИСО S и S^/. На рис. 4.2 в ИСО S^/ испущен световой сигнал, распространяющийся вверх; отразившись от зеркала (направление скорости с к оси х), сигнал регистрируется приёмником. Время движения сигнала запишется:

t^/  2h/с; (4.4)

здесь учтён принцип существования предельной скорости и с ^/  с.

Теперь представим, что из точки О, начала ИСО S, испущен световой сигнал, распространяющийся в направлении зеркала ИСО S^/ (рис.4.2) и, отразившись от зеркала, регистрируется приёмником. Время движения сигнала: . Поскольку угол  определяется скоростью с и V (почему?) и, воспользовавшись тригонометрическим выражением sin²  cos²  1, пытливый читатель приходит к выражению:

. (4.5)

Поскольку из уравнения (4.4) , то, проделав ещё раз преобразования, пытливый читатель приходит к взаимосвязи временных интервалов в подвижной и неподвижной ИСО:

. (4.6)

Итак, из формулы (4.6) следует, интервалы времени одинаково устроенных часов относительны, длительность одного и того же процесса минимальна в той системе отсчёта, относительно которой сами часы покоятся; это собственное время частицы и ИСО, связанной с нею. При движении временной интервал удлиняется; ход времени замедляется. Следует заметить, что справедливость формулы (4.6) ныне проверена в прямых экспериментах с часами, помещёнными на самолёте или ракете, а также при сравнении периодов распада движущихся и покоящихся частиц.

4.4. Относительность длины отрезка

Для установления соотношения длин отрезков в подвижной и неподвижной инерциальных систем отсчёта (ИСО) обратимся к рис. 4.3. Система S^/ движется со скоростью V направо вдоль оси х системы S. Установление соотношения длин отрезков требует выполнения математической операции деления, например, длины l в неподвижной системе отсчёта S на длину l_о в движущейся системе отсчёта S^/, т.е. l/l_о.

Для определения длины отрезка (l, или l_о), как правило, привлекается процесс сравнения с эталоном длины. Такую процедуру в нашем повседневном опыте нам приходится выполнять регулярно. Однако заметим, эталон единицы длины у нас определён; это система интернациональная СИ, в которой единица длины метр, и внесистемные единицы. Здесь сложение; неинвариантность понятия одновременности удалённых событий в произвольно движущихся ИСО (см. (4.6)), и принцип существования предельной скорости указывают на то, что единица длины в каждой из систем отсчёта должна определяться скоростью света с и временным интервалом соответствующей ИСО. Отсюда немедленно следует, интервал единица длины в ИСО S^/ l_о  сt^/, а в инерциальной системе отсчёта S l  сt. И тогда длина отрезка в движущейся системе отсчёта l ^/  l_о/l_о   l_о/сt^/, а в неподвижной S системе l  l_о/l  l_о/сt. Отсюда соотношение длин отрезков запишется:

l / l ^/ . (4.7)

Учитывая формулу (4.6), длина тела l, измеренная в неподвижной ИСО в направлении её движения, запишется:

(4.8)

где l ^/ – длина отрезка в подвижной системе отсчёта. Иначе говоря, длина отрезка (тела), измеренная в движущейся ИСО в направлении её движения l ^/, испытывает сокращение. Максимальной длиной тело обладает в системе отсчёта, в которой оно покоится.

Сделанный вывод относится к размерам тела лишь в направлении движения ИСО. В поперечном направлении размеры тела не изменяются, так что, например, объём куба при измерении в движущейся инерциальной системе отсчёта изменяется по закону

; (4.9)

здесь под корнем отношение V²/с² заменено постоянной  – бета, что упрощает запись и чаще встречается в литературе.

В заключение следует подчеркнуть, описанные выше эффекты не связаны с действием каких-либо сил. Они отражают лишь неинвариантность понятий промежутка времени и длины в мире событий.