5. Колебательное движение

5.1. Сложение однонаправленных колебаний

В предыдущих главах на простых примерах мы ознакомились с общими методами нахождения законов движения частиц в стационарных состояниях. Применим их к более сложным задачам, приводящим к возникновению различных колебательных движений. Характерная особенность таких движений – наличие периодического процесса, обеспечивающего ограниченное движение частицы вблизи её положения равновесия. Закономерности колебательных движений интересны не только сами по себе. В дальнейшем они найдут приложения во многих разделах физики, в которых приходится иметь дело с малыми отклонениями произвольной физической системы от её равновесного состояния. С некоторыми простейшими примерами колебательных движений в стационарных состояниях мы уже встречались в работе [3, с. 29–34], а сейчас проведём анализ движения частицы, участвующей одновременно в двух колебательных процессах одного направления. Такую ситуацию можно «поймать», подвесив шарик на пружине, например, к потолку вагона, качающегося на рессорах. В этом случае движение шарика относительно поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.

Если х₁ есть смещение в первом из колебаний при отсутствии второго, а х₂ – смещение при втором колебании в отсутствии первого, то при одновременно происходящих колебательных процессах в каждое мгновение смещение

х  х₁  х₂.

В самом общем случае складывающиеся колебания могут различаться амплитудами, частотами и иметь сдвиг по фазе. Рассмотрим сначала случай, когда колебания одинаковы по частоте, но различаются по амплитуде и сдвинуты по фазе. Тогда смещение для каждого из колебаний может быть записано

х₁  А₁ sin (t  ₀₁), х₂  А₂ sin (t  ₀₂),

а смещение при одновременно происходящих колебательных процессах примет вид

х  х₁  х₂  А₁ sin (t  ₀₁)  А₂ sin (t  ₀₂). (5.1)

Убедимся в том, что эта сумма также является гармоническим колебанием той же частоты. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством

sin (  )  sin cos   cos sin  (5.2)

и преобразуем (5.1) следующим образом:

х  А₁ sin (t  ₀₁)  А₂ sin (t  ₀₂)

  А₁ (sin tcos ₀₁  cos tsin ₀₁)  А₂ (sin tcos ₀₂  cos tsin ₀₂) 

 A (sin tcos ₀  cos tsin ₀ ), (5.3)

где

A cos ₀  А₁cos ₀₁  А₂cos _{02 ,} (5.4)

A sin ₀  А₁sin ₀₁  А₂sin ₀₂ . (5.5)

Тригонометрическое тождество (5.2) позволяет записать выражение суммарного колебания (5.3) так:

х  А sin (t  ₀). (5.6)

Это значит, что результирующее колебание также гармоническое. Амплитуду его пытливый и настойчивый читатель можно найти, возведя в квадрат выражения (5.4), (5.5) и, сложив левые и правые части, придёт к равенству вида: .

Если представить колебания с помощью векторов А₁   и А₂  и построит по правилам сложения векторов результирующий вектор А   (см. рис. 5.1), легко увидеть, что проекция этого вектора на ось х, равна сумме проекций слагаемых векторов х  х₁  х₂. Следовательно, вектор А  представляет собой результирующее колебание. Этот вектор, как и вектора А₁ и А₂ вращается с той же угловой скоростью . Начальная фаза результирующего колебания ₀ может быть найдена из уравнений (5.4) и (5.5). Действительно, если въедливый студент разделит левую и правую части уравнения (5.5) на соответствующие части уравнения (5.4), получит уравнение для вычисления начальной фазы ₀ результирующего колебания:

. (5.7)

Приём сложения гармонических колебаний посредством векторов полезен будет нам, например, в оптике, где световые колебания в некоторой точке определяются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.

Другой важный случай – это сложение однонаправленных колебаний разных частот. Для простоты рассуждений положим сдвиг по фазе   0 (всегда можно выбрать начало отсчёта времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю), а амплитуды колебаний равны; это значит, в момент времени t  0 смещение складываемых колебаний равно нулю: х₁  х₂  0 (см. рис. 5.2). Тогда

х₁  А sin ₁t и х₂  А sin ₂t ,

х  х₁  х₂  А sin ₁t  А sin ₂t . (5.8)

В общем случае при сложении таких колебаний возникает какое-то колебательное движение, но при этом не удаётся подметить строгой периодичности в изменении смещения х. Однако рассмотрение двух частных случаев нам по силам. Прежде всего, рассмотрим сложение двух колебаний с близкими частотами ₁ и ₂ такими, что ₁ – ₂  ₁  ₂. Тогда смещение результирующего колебания х  х₁  х₂ является удвоенным произведением синуса полусуммы частот на косинус полуразности частот. Тригонометрическое тождество

не противоречит этому. Действительно, воспользовавшись указанным тождеством, уравнение (5.8) приводим к виду:

. (5.9)

Поскольку ₁ – ₂  ₁  ₂ , один из косинусов меняется быстро, а другой – медленно. Поэтому можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду результирующего колебания, происходящего со средней частотой, равной (₁  ₂)/2. Такие колебания, называемые биениями, изображены на рис. 5.2.. Здесь отчётливо видны два периода – основного колебания (₁) и период биений (₁ – ₂).

Второй случай – это сложение двух колебаний, частоты которых находятся в отношении целых чисел. Очевидно, результирующее колебание будет периодическим. Если допустить, что период одного колебания 3 с, а другого 7 с, то через 21 с суммарное колебание будет повторяться, что и показано на рис. 5.3.