2.4. Механическая энергия. Закон сохранения энергии

В предыдущем параграфе нам удалось ввести характеристику свойств внешнего окружения – потенциальную энергию. Она оказалась как-то связанной с несвободной частицей. В этом отношении потенциальная энергия U ничем не отличается от силы . И та, и другая величина зависит от характеристик как «несвободной» частицы, так и внешнего окружения, то есть являются характеристиками их взаимодействия. Можно ли выделить явно характеристики самой несвободной частицы? Ответ положительный, но это оказалось возможным лишь для фундаментальных сил. В частности, для сил тяготения и электрической переход от силы к потенциальной энергии U эквивалентен переходу от фундаментальных векторных полей – и – к скалярным фундаментальным полям, называемым, соответственно, гравитационным или электрическим потенциалами. Эти формулы читателю хорошо знакомы из школьного курса физики, по крайней мере, для электрического поля , соответственно, для поля тяготения . Не вызывает сомнений, что потенциалы и , как и поля и характеризуют только внешнее воздействие.

Из установленной в (2.5) аналитической взаимозависимости между силой и энергией нетрудно понять, что многие свойства внешнего взаимодействия, присущие силам, переносятся на потенциальную энергию. В частности, из закона независимости действия сил, применимого к потенциальным силам: «Результирующая сила, действующая на частицу со стороны совокупности материальных объектов, равна векторной сумме сил, которые действовали бы на неё со стороны каждого из этих объектов в отсутствие остальных », следует, что . Иначе говоря, результирующая потенциальная энергия частицы равна алгебраической сумме потенциальных энергий частицы в отдельных внешних полях при отсутствии остальных. Воспользуемся этим для прояснения понятия «механическая энергия» и её свойств.

Рис.2.2. Движение точки в силовом поле.

Обратимся вновь к анализу работы силы , совершаемой при движении частицы между точками z₁ и z₂. Для неё мы имеем теперь два выражения. Для любых сил – потенциальных и непотенциальных, – как показано в параграфе (2.1.), она равна разности кинетических энергий несвободной частицы в конце и начале движения (рис. 2.2.):

_{. (2.7)}

В то же время, для потенциальных сил, как следует из уравнения (2.6), она равна разности значений потенциальной энергии той же частицы во внешнем поле в начале и в конце движения:

. (2.8)

Объединяя эти уравнения, получаем

К₂ – К₁  А₂₁  U₁ – U₂. (2.9)

или К₂  U₂  К₁  U₁  const. (2.10)

Иначе говоря, сумма двух величин, кинетической и потенциальной энергии, характеризующих движение частицы под действием потенциальных сил, оказывается одинаковой в начале и в конце движения. Это позволяет ввести для несвободной частицы новую физическую величину

Е_мех  К  U, (2.11)

называемую механической энергией частицы. Теперь нам становится ясным выбор знака «минус» (по историческим причинам) в выражении (2.5) для потенциальной силы. Он был вызван желанием получить в уравнении (2.11) знак «плюс», хотя величина U в нём может быть как положительной, так и отрицательной.

Таким образом, в то время как для свободной частицы Е_мех  К (знак  читается – тождественно равно, т. е. Е_мех и К рассматриваются как одно и то же), при наличии воздействия потенциальных сил преимущество механической энергии Е_мех перед кинетической энергией К состоит в том, что она позволяет сформулировать ещё один закон. Он гласит: для внешних воздействий в поле потенциальных сил энергия частицы сохраняется:

Е_мех(t)  Е_мех(0)  const, (2.12)

здесь Е_мех(0) определяется начальными значениями координаты и скорости (или импульса р(0)), см рис. 2.2. Дифференцируя (2.11) с учётом (2.12) по времени, получаем вместо (2.1) соотношение:

(2.13)

здесь учтено, Е_мех(0)  const. Из уравнения (2.13) следует, изменение кинетической и потенциальной энергии со временем происходит синхронно: когда кинетическая энергия, зависящая от , на некоторую величину возрастает, потенциальная энергия, зависящая от z(t), на такую же долю убывает и наоборот (см. рис. 2.2.).

Проверим уравнения (2.12) и (2.13). В качестве условия задачи воспользуемся ситуацией, представленной на рис. 2.2. Как следует из рисунка, частица массы m, находящаяся в однородном поле силы тяготения, из состояния, определяемого координатой z₁ и скоростью , переходит в состояние с координатой z₂ и скоростью ; убедились? Уравнение движения частицы имеет вид: z(t)  z₁ – – . Тогда кинетическая энергия как функция времени запишется: . Знак «минус» обусловлен тем, что скорость движения и ускорение свободного падения (рис. 2.2.) направлены в противоположную сторону оси z.

Потенциальная энергия как функция времени, соответственно, запишется: _{. Полная механическая энергия примет вид:}

_{. (2.14)}

_{Пытливый читатель, проведя преобразования, самостоятельно придёт к выражению:} ; отсюда немедленно следует, в поле однородной силы, равно как и в поле потенциальных сил, механическая энергия сохраняется; выражение (2.12) подтверждается.

Для проверки аналитической записи (2.13) возьмём производную по времени от полученных выражений кинетической и потенциальной энергий соответственно; или от соответствующих частей уравнения (2.14). Результатом выполненных действий является запись вида:

; ; (2.14а)

отсюда немедленно следует, . Иными словами, увеличение кинетической энергии частицы произошло за счёт уменьшения её потенциальной энергии (рис. 2.2) (или наоборот). Таким образом, в потенциальном поле сил работа по замкнутому контуру равна нулю и не зависит от того, по какому пути и с какой быстротой двигалась частица.

В заключение главы заметим, нам удалось выделить класс внешних воздействий – потенциальные силы – при которых простейшим способом реализуются представления о характере взаимодействия, обеспечивающего движение частицы в неизменных внешних условиях. При этом потенциальная энергия играет роль своеобразного обменного фонда, регулирующего взаимоотношения несвободной частицы и её окружения. Если частица остановилась, то в этот момент времени её импульс и кинетическая энергия переходят к окружающим телам. В силу массивности этих тел явлением отдачи можно пренебречь. Присутствие их (окружающих тел) проявляется только в том, что поглотив безвозвратно импульс частицы, они энергию поглощают лишь временно, возвращая её частице затем в том же количестве, которое она отдала ранее. Разумеется, частица приобретает вместе с энергией и импульс, однако его численное значение и направление никак не связаны с величиной и направлением импульса частицы до её остановки. Они, и величина, и направление импульса частицы определяются той же функцией U, что и её кинетическая энергия.