11.4.2. Возможности и границы

формализации (философский смысл теорем Гёделя, Тарского)

В понимании основных проблем формализации – ее сущности, познава­тельной ценности, условий и границ применимости – среди философов, логи­ков и историков науки отсутствует единое мнение. Нередко высказываются прямо противоположные взгляды – преувеличение роли формализации и формализо­ванного языка и недооценка значения формализованных методов исследования.

251

Давид Гильберт (1862-1943), основатель формалистической школы в мате­матике, предполагал, что все наше знание, и прежде всего математическое, мо­жет быть полностью формализовано. Идеи Гильберта приняли многие талант­ливые математики, среди которых П. Бернайс (1888-1977), Дж. Гербрандт (1908­1931), В. Аккерман (1898-1962), Дж. фон Нейман (1903-1957).

Однако в 1931 г. Курт Гёдель250 в статье «О формально неразрешимых пред­ложениях «Principia Mathematica» и родственных систем» доказал известную те­орему о неполноте формализованной арифметики. Он доказал, что в системе «Principia Mathematica» и в любой другой формальной системе, способной вы­разить арифметику натуральных чисел, имеются неразрешимые (т. е. недоказу­емые и вместе с тем неопровержимые в данной системе) предложения. Теорема Гёделя свидетельствует о том, что арифметика натуральных чисел включает со­держание, которое не может быть выражено исключительно на основе логичес­ких правил образования и преобразования соответствующей формальной сис­темы. Более того, формула логического исчисления, способного формализовать элементарную арифметику, недоказуема как формула, выражающая ее после­довательность. Таким образом, непротиворечивости нельзя достичь, используя инструменты, принадлежащие к той же формальной системе. Это было настоя­щее поражение программы Гильберта.

Неполнота формализованных систем, содержащих арифметику, означает, что в содержательной математической теории всегда можно найти истинное пред­ложение, которое нельзя доказать с помощью аксиом формальной теории, фор­мализующей эту содержательную теорию. Кроме того, в более богатой фор­мальной системе, к которой недоказуемое предложение присоединено в каче­стве аксиомы, его можно тривиально доказать, но тем не менее и в новой системе имеется возможность построить аналогичное недоказуемое предложение и, та­ким образом, всегда остается некий «неформализуемый остаток». Эта теорема показала невозможность дать в рамках формального построения основание всей как сегодняшней, так и будущей математике251. Гёдель показал неосуществи­мость в целом программы Гильберта, которая предусматривала полную фор­мализацию существенной части математики. Она ограничила саму идею, кото­рая исходит от работ Лейбница, о формализации всей рациональной мысли в виде синтаксических структур и понимании мышления как игры символов бе­зотносительно их значения. Поэтому теорема Гёделя зачастую рассматривается как достаточно строгое обоснование принципиальной невозможности полной формализации научных рассуждений и научного знания в целом.

Таким образом, Гёдель дал строго логическое обоснование невыполнимо­сти идеи Р. Карнапа о создании единого, универсального, формализованного «физикалистского» языка науки. То есть из гёделевской теоремы «о неполноте» следует, что точная формализованная система, выступающая в качестве языка науки, не может считаться совершенно адекватной системе объектов, ибо неко­торые содержательно истинные предложения не могут быть получены средства­ми данного формализма, а это значит, что формализация языка науки не сни­жает, а напротив, предполагает содержательные моменты в построении языко­вой системы.

250 Курт Гёдель (1906-1978) – австрийский логик и математик. В 1940 г. эмигрировал в США. Ему принадлежит ряд важных результатов в отрасли математической логики, теории множеств, тео­рии моделей. Наиболее известны так называемые теоремы Гёделя о неполноте и непротиворечи­вости формальных систем. На этих теоремах основывается много важных результатов в матема­тической логике, а также выводов методологического и гносеологического характера. С. Клинни считает, что они несут в себе целую программу и философию математики. В начале своей деятельности Гёдель был членом Венского кружка неопозитивистов, которые оказали значи­тельное влияние на его философские взгляды.

251 См.: Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. – М., 1982.

252

Результаты работ Гёделя вызвали интенсивные исследования ограничен­ности формальных систем (работы А. Черча, С. Клини, Тарского и др.). Теоре­мы Альфреда Тарского (1902-1984) о неформализуемости понятия истины для достаточно богатых формализованных теорий выявили ограниченность дедук­тивных и выразительных возможностей формализмов252. Тарский доказал внут­реннюю ограниченность выразительных возможностей формализованных тео­рий – невозможность строго формальными методами передать все то познава­тельное содержание, которое выражается достаточно богатыми содержательными научными теориями, подвергшимися формализации. Таким образом, так называемые ограничительные теоремы Черча, Тарского и Гёделя убедительно показывают, что из состава математики и формальной логики нельзя исключить предложения, которые в силу определенных содержательных мотивов, нельзя не признать истинными, но которые тем не менее неразрешимы на основе правил построения соответствующих формальных систем.

В философском плане эти теоремы означали утверждение принципиаль­ной невозможности полной формализации научного знания. Применение акси­оматических и формальных методов исследования имеет свои границы.