4. Решение задачи оптимизации на основе симплекс-метода

Приведем задачу к стандартной форме. Для этого в ограничение “больше или равно” потребуется ввести избыточную переменную, а в ограничения “меньше или равно” – остаточные. В ограничение «равно» не следует вводить никаких переменных.

10Х₂ - Х₃=0

0,3 Х₁+0,25 Х₂+0,4 Х₃ +Х₅=400

0,5 Х₁+0,5 Х₂+0,4 Х₃+Х₆=250

0,2 Х₁+0,25 Х₂+0,2 Х₃+Х₇=350

Х₁ –Х₄= 20

Х_i  0, i = 1..3

Е = 885Х₁ +687,5Х₂ +1170Х₃ max

Здесь Х₅, Х₆, Х₇ - остаточные переменные, а Х₄ -избыточная переменная.

В полученной системе уравнений базисные переменные имеются не во всех уравнениях. Поэтому для решения задачи требуется использовать методы искусственного базиса.

Первый этап (поиск допустимого решения)

1. Во все ограничения, где нет базисных переменных, вводятся искусственные базисные переменные. В данной задаче требуется ввести в 1-ое и 5-ое ограничения. Добавлять искусственную переменную в другие ограничения не требуется, так как они уже содержат базисные переменные.

Система ограничений с искусственными базисными переменными будет иметь следующий вид:

10Х₂ - Х₃+Х₉=0

0,3 Х₁+0,25 Х₂+0,4 Х₃ +Х₅=400

0,5 Х₁+0,5 Х₂+0,4 Х₃+Х₆=250

0,2 Х₁+0,25 Х₂+0,2 Х₃+Х₇=350

Х₁ –Х₄+Х₈=20

Х_i  0, i = 1..3

Е = 885Х₁ +687,5Х₂ +1170Х₃ max

Таким образом, начальный базис будет состоять из искусственных переменных X₈, X₉ которые не имеют физического смысла, а также из остаточных переменных Х₅, Х₆, Х₇.

2. Составляется искусственная целевая функция -сумма всех искусственных переменных:

W= X₈+ X₉→ min.

Эта целевая функция подлежит минимизации, так как для определения начального допустимого решения необходимо, чтобы все искусственные переменные приняли нулевые значения.

3. Искусственная целевая функция выражается через небазисные переменные. Для этого сначала требуется выразить искусственные переменные через небазисные:

Х₈=-Х₁ +Х₄+20

Х₉=-10Х₂ + Х₃

Выраженные таким образом искусственные переменные подставляются в искусственную целевую функцию: 

W = -Х₁ -10Х₂ + Х₃+Х₄+20 → min.

4. Для приведения всей задачи к стандартной форме выполняется переход к искусственной целевой функции, подлежащей максимизации. Для этого она умножается на –1:

–W = Х₁ +10Х₂ - Х₃-Х₄-20 → max.

Приведем полную математическую модель задачи, приведенную к стандартной форме:

10Х₂ - Х₃+Х₉=0

0,3 Х₁+0,25 Х₂+0,4 Х₃ +Х₅=400

0,5 Х₁+0,5 Х₂+0,4 Х₃+Х₆=250

0,2 Х₁+0,25 Х₂+0,2 Х₃+Х₇=350

Х₁ –Х₄+Х₈=20

Х_i  0, i = 1..3

Е = 885Х₁ +687,5Х₂ +1170Х₃ max

–W = Х₁ +10Х₂ - Х₃-Х₄-20 → max

5. Определяется начальное решение. Все исходные задачи являются небазисными, т.е. принимаются равными нулю. Искусственные, а также остаточные переменные образуют начальный базис: они равны правым частям ограничений. Для рассматриваемой задачи начальное решение следующее: X₁=X₂=X₃=X₄=0, X₅=400, X₆=250, X₇=350, X₈=20, X₉ =0. Это решение является недопустимым: значения переменных X₁=X₂=X₃=0 не удовлетворяют постановке задачи.

Начальное значение целевой функции задачи E равно нулю.

Составляется исходная симплекс-таблица. Она отличается от симплекс-таблицы, используемой для обычного симплекс-метода только тем, что в нее добавляется строка искусственной целевой функции. В этой строке указываются коэффициенты искусственной целевой функции (приведенной к стандартной форме, т.е. подлежащей максимизации) с обратными знаками, как и для обычной целевой функции. Исходная симплекс-таблица для рассматриваемого примера приведена в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Исходная симплекс-таблица

БП	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6	X 7	X 8	X 9	БР
E	-885	-687,5	-1170	0	0	0	0	0	0	0
-W	-1	-10	1	1	0	0	0	0	0	-20
X 8	1	0	0	-1	0	0	0	1	0	20
X 9	0	10	-1	0	0	0	0	0	1	0
X 5	0,3	0,25	0,4	0	1	0	0	0	0	400
X 6	0,5	0,5	0,4	0	0	1	0	0	0	250
X 7	0,2	0,25	0,2	0	0	0	1	0	0	350

6. Выполняется переход от начального недопустимого решения, содержащегося в исходной симплекс-таблице, к некоторому допустимому решению. Для этого с помощью обычных процедур симплекс-метода выполняется минимизация искусственной целевой функции W (или, то же самое, максимизация функции –W). При этом переменные, включаемые в базис, выбираются по строке искусственной целевой функции. Все остальные действия выполняются точно так же, как в обычном симплекс-методе. В результате минимизации искусственная целевая функция –W должна принять нулевое значение. Все искусственные переменные при этом также становятся равными нулю (исключаются из базиса), так как искусственная целевая функция представляет собой их сумму.

Выбирается переменная для включения в базис: это переменная X₂ , так как ей соответствует максимальный по модулю отрицательный коэффициент в строке искусственной целевой функции. Столбец переменной X₂ становится ведущим.

Для определения переменной, исключаемой из базиса, найдем симплексные отношения. Минимальное симплексное отношение получено в строке переменной X₉; значит, эта переменная исключается из базиса. Строка переменной X₉ становится ведущей.

Выполняются преобразования таблицы по правилам симплекс-метода. Ведущая строка (X₉) делится на ведущий элемент (в данном примере он равен 10). Ведущий столбец (X₂) заполняется нулями. Все остальные элементы таблицы (включая строки основной и искусственной целевых функций, а также столбец решений) пересчитываются по “правилу прямоугольника”. Полученная симплекс-таблица приведена в таблице 4.2.

Т.к. значение искусственной целевой функции не равно нулю, искусственные переменные входят в базис и также не равны нулю, то допустимое решение не найдено.

Таблица 4.2 – Вторая симплекс-таблица

БП	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6	X 7	X 8	X 9	БР
E	-885	0	-1238,75	0	0	0	0	0	68,75	0
-W	-1	0	0	1	0	0	0	0	1	-20
X 8	1	0	0	-1	0	0	0	1	0	20
X 2	0	1	-0,1	0	0	0	0	0	0,1	0
X 5	0,3	0	0,43	0	1	0	0	0	-0,03	400
X 6	0,5	0	0,45	0	0	1	0	0	-0,05	250
X 7	0,2	0	0,23	0	0	0	1	0	-0,03	350

Продолжаем приведённые выше действия пока целевая функция и искусственные переменные не станут равными 0. Симплекс-таблица №3 представлена в таблице 4.3

Таблица 4.3 – Третья симплекс-таблица

БП	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6	X 7	X 8	X 9	БР
E	0	0	-1238,75	-885	0	0	0	885	68,75	17700
-W	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0
X 1	1	0	0	-1	0	0	0	1	0	20
X 2	0	1	-0,1	0	0	0	0	0	0,1	0
X 5	0	0	0,43	0,3	1	0	0	-0,3	-0,03	394
X 6	0	0	0,45	0,5	0	1	0	-0,5	-0,05	240
X 7	0	0	0,23	0,2	0	0	1	-0,2	-0,03	346

Как видно из таблицы 4.3, искусственная функция равна нулю, и все искусственные переменные исключены из базиса. Получено допустимое решение. Таким образом, первый этап двухэтапного метода завершен. Искусственная целевая функция и искусственные переменные исключаются из симплекс-таблицы (таблица 4.4).

Таблица 4.4 – Четвертая симплекс-таблица

БП	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6	X 7	БР
E	0	0	-1238,75	-885	0	0	0	17700
X 1	1	0	0	-1	0	0	0	20
X 2	0	1	-0,1	0	0	0	0	0
X 5	0	0	0,43	0,3	1	0	0	394
X 6	0	0	0,45	0,5	0	1	0	240
X 7	0	0	0,23	0,2	0	0	1	346

Второй этап

Преобразуем таблицу 4.4. Выбирается переменная для включения в базис: это переменная X₃, так как ей соответствует максимальный по модулю отрицательный коэффициент в строке искусственной целевой функции.

Для определения переменной, исключаемой из базиса, найдем симплексные отношения. Минимальное симплексное отношение соответствует переменной X₆, значит эта переменная исключается из базиса.

В результате преобразований по правилам симплекс-метода будет получена следующая симплекс-таблица (таблица 4.5).

Таблица 4.5 – Пятая симплекс-таблица

БП	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6	X 7	БР
E	0	0	0	491,39	0	2752,78	0	678366
X 1	1	0	0	-1	0	0	0	20
X 2	0	1	0	0,11	0	0,22	0	53,33
X 5	0	0	0	-0,17	1	-0,94	0	167,33
X 3	0	0	1	1,11	0	2,22	0	533,33
X 7	0	0	0	-0,05	0	-0,5	1	226

Все элементы Е-строки положительные, значит оптимальное решение найдено. Основные переменные задачи приняли следующие значения:

X₁ = 20 т смеси ТС1;

X₂ = 53,3 т смеси ТС2;

X₃ = 533,3т смеси ТС3;

Целевая функция E = 678366 ден.ед. – прибыль предприятия.

Остаточные переменные:

X₅ = 167,33 т – означает, что предприятие использует на 167,33 т торфа меньше максимально допустимого значения;

X₆ = 0 – означает, что предприятие использует максимально возможное количество угля;

X₇ = 266 т означает, что предприятие использует на 266 т горючего сланца меньше максимально допустимого значения;