1. Постановка задачи оптимизации

Предприятие изготавливает топливные смеси трех видов (ТС1, ТС2, ТС3), в состав которых входит торф, уголь и горючий сланец.

Имеется возможность закупить 400 т торфа, 250 т угля и 350 т горючего сланца.

Для изготовления топливных смесей торф, уголь и горючий сланец смешиваются в следующих пропорциях: ТС1 - 3:5:2, ТС2 - 1:2:1, ТС3 - 2:2:1.

Для выполнения имеющихся заказов необходимо выпустить не менее 20 т топливной смеси ТС1.

Топливные смеси ТС2 и ТС3 должны выпускаться в соотношении 1:10.

Торф закупается по цене 320 ден.ед./т, уголь - 800 ден.ед./т, горючий сланец - 500 ден.ед./т.

Топливные смеси продаются по следующим ценам: ТС1 - 1200 ден.ед./т, ТС2 - 1000 ден.ед./т, ТС3 - 1500 ден.ед./т.

Составить план выпуска топливных смесей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

2. Построение базовой аналитической модели

Составим аналитическую модель задачи, для этого введем переменные:

Х₁ – количество произведенной топливной смеси ТС1;

Х₂ – количество произведенной топливной смеси ТС2;

Х₃ – количество произведенной топливной смеси ТС3;

Введём ограничения.

Имеется возможность закупить 400 т торфа, 250 т угля и 350 т горючего сланца.

Для изготовления топливных смесей торф, уголь и горючий сланец смешиваются в следующих пропорциях: ТС1 - 3:5:2, ТС2 - 1:2:1, ТС3 - 2:2:1

0,3 Х₁+0,25 Х₂+0,4 Х₃400

0,5 Х₁+0,5 Х₂+0,4 Х₃250

0,2 Х₁+0,25 Х₂+0,2 Х₃350

Для выполнения имеющихся заказов необходимо выпустить не менее 20 т топливной смеси ТС1.

Х₁ ≥ 20

Топливные смеси ТС2 и ТС3 должны выпускаться в соотношении 1:10.

10Х₂ = Х₃

Составим целевую функцию.

Прибыль от продажи смесей: ТС1 - 1200 ден.ед./т, ТС2 - 1000 ден.ед./т, ТС3 - 1500 ден.ед./т.

1200Х₁

1000Х₂

1500Х₃

Затраты на закупку сырья: торф-320 ден.ед./т, уголь - 800 ден.ед./т, горючий сланец - 500 ден.ед./т.

315Х₁

312,5Х₂

330Х₃

Таким образом, получаем

Е = 885Х₁ +687,5Х₂ +1170Х₃ – это прибыль предприятия, которую необходимо максимизировать.

Математическая модель имеет вид:

10Х₂ = Х₃

0,3 Х₁+0,25 Х₂+0,4 Х₃400

0,5 Х₁+0,5 Х₂+0,4 Х₃250

0,2 Х₁+0,25 Х₂+0,2 Х₃350

Х₁ ≥ 20

Х_i  0, i = 1..3

Е = 885Х₁ +687,5Х₂ +1170Х₃ max

3. Обоснование вычислительной процедуры

Для большинства методов решения задач линейного программирования требуется предварительно привести задачу к стандартной форме. Задача (или ее математическая модель) представлена в стандартной форме, если она соответствует следующим условиям:

• целевая функция подлежит максимизации;

• все ограничения имеют вид равенств;

• на все переменные накладываются ограничения неотрицательности.

Для решения данной задачи воспользуемся симплекс- методом. Так как в математической модели присутствуют ограничения вида «равно», то для решения задачи потребуется методы искусственного базиса. Поиск целочисленного решения не требуется, так как все переменные задачи по своему физическому смыслу могут принимать нецелочисленные значения.

ПРИНЦИП РАБОТЫ СИМПЛЕКС - МЕТОДА

Симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования любой размерности, т.е. с любым количеством переменных. Решение задач линейного программирования на основе симплекс-метода состоит в целенаправленном переборе угловых точек ОДР в направлении улучшения значения целевой функции.

Можно доказать, что экстремум (минимум или максимум) целевой функции всегда достигается при значениях переменных X₁, X₂,...,X_n, соответствующих одной из угловых точек ОДР. Другими словами, оптимальное решение всегда находится в угловой точке ОДР.

Принцип работы симплекс- метода состоит в следующем. Находится какое- либо допустимое решение, соответствующее одной из угловых точек ОДР. Проверяются смежные с ней угловые точки ОДР. Если ни в одной из смежных угловых точек значение целевой функции не улучшается, то решение задачи завершается; текущая угловая точка ОДР соответствует оптимальному решению задачи. Если имеются смежные угловые точки ОДР, для которых значение целевой функции улучшается, то выполняется переход в ту из них, для которой достигается наиболее быстрое улучшение значения целевой функции. Для новой угловой точки ОДР процесс повторяется, т.е. проверяются смежные угловые точки. Перебор угловых точек происходит до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение, т.е. пока не будет достигнута угловая точка ОДР, для которой ни в одной из смежных точек значение целевой функции не улучшается.

Поиск решения на основе симплекс-метода реализуется путем вычислений на симплекс-таблицах. Основные этапы реализации симплекс- метода следующие.

1. Задача линейного программирования приводится к стандартной форме.

2. Определяется начальное допустимое решение (начальная угловая точка ОДР).

3. Строится исходная симплекс- таблица. Выполняются преобразования симплекс-таблиц, соответствующие перебору угловых точек ОДР, до получения оптимального решения.

Реализация симплекс- метода существенно различается в зависимости от вида математической модели задачи. В задаче также есть ограничение вида “больше либо равно”, следовательно, придется воспользоваться методом искусственного базиса (будем использовать двухэтапный метод).

В данной задаче все переменные по своему физическому смыслу могут принимать дробные значения, поэтому ограничения целочисленности на них не накладываются.