П.3 Определитель квадратной матрицы

• Определителем (детерминантом) матрицы называется число, равное значению алгебраического выражения, составленного по определённому правилу для элементов данной матрицы.

Обозначение: .

Размерность матрицы определяет порядок определителя.

Определитель 1-ого порядка
Определитель 2-ого порядка
Определитель 3-ого порядка	«правило треугольников»:

Пример:

.

Свойства:

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется:

.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак:

.

3. При умножении элементов строки (столбца) определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число: .

Следствие: Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число: .

5. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен 0:

Следствие: Определитель, имеющий две равные строки (столбца) или две пропорциональные строки (столбца), равен 0: , .

6. .

7. .

8. Если для элементов какой-либо строки или столбца матрицы верно соотношение: , , , то верно:

.

Доказательства этих свойств следуют из правил вычисления определителя и справедливы для определителей любого порядка.

Например докажем свойство №3 для определителя 2-ого порядка:

.

Минором элемента определителя -ого порядка называется определитель -ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания -ой строки и -ого столбца (на пересечении которых находится выбранный элемент). Обозначение: .

Пример:

Для элемента определителя имеем

• Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком « », если сумма – четна, в противном случае со знаком «–».

Обозначение: .

Пример: Для элемента определителя имеем:

Теорема 1 Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения:

(по -ой строке) или

(по -ому столбцу).

► Докажем теорему для определителя 3-ого порядка.

Для матрицы составим и преобразуем сумму произведений элементов 1-ой его строки на соответствующие им алгебраические дополнения:

. ■

Теорема 2. Сумма произведений элементов строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой параллельной строки (столбца) равна нулю.

Вывод:

Замечание. Для разложения определителя обычно выбирают ту строку или тот столбец, где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, лежащих на диагонали.

Определитель единичной матрицы равен 1, то есть .