4.Уравнение прямой по двум точкам.

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

(координаты направляющего вектора:

Примечание: точки можно «поменять ролями» и использовать формулу

Пример 4. Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение: Используем формулу:

Считаем знаменатели:

И методом пропорции решаем :

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ:

Далее переходим к виду прямой 5 – по точке и вектору нормали.

Нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Если прямая задана общим уравнением  в прямоугольной системе координат, то вектор  является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора  приходиться аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Рассмотрим примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Пример 5.

5.Уравнение прямой по точке и вектору нормали. Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали  этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Пример 6.

Составить уравнение прямой по точке  и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение: Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено:

Ответ:

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

Далее рассмотрим уравнение прямой в отрезках:

1. Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы.

Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность  (так как свободный член  равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Пример 7

Дана прямая . Составить уравнение прямой  в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями.

Решение: Приведём уравнение к виду . Сначала перенесём свободный член в правую часть:

Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на –11:

Таким образом, точки пересечения прямой с координатными осями:

Ответ:

Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках».

И, наконец, последний нами рассматриваемый тип уравнения прямой:

7.Уравнение прямой в параметрической форме:

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор  этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой:

Пример 8

Составить параметрические уравнения прямой по точке  и направляющему вектору

Решение:

П.6.2. Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Две прямые могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) пересекаться в единственной точке: .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Теорема 1. две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Пример 10.

Рассмотрим прямые  и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Второй случай, когда прямые параллельны:

Теорема 2. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  пропорциональны: , но .

Пример 11.

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

Вывод:

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Теорема 3. Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых  составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных  не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

Пример 12.

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений  найдём направляющие векторы прямых: .

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , значит, векторы  не коллинеарны и прямые  пересекаются.

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных  пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, можно и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение  удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ: .

П.6.3.Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые  пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо: 1) Составить уравнение одной прямой . 2) Составить уравнение второй прямой . 3) Выяснить взаимное расположение прямых . 4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Пример 13.

Найти точку пересечения прямых 

Решение: Точку пересечения  целесообразно искать аналитическим методом. Решим систему:

Ответ:

П.6.4. Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например:  – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точки  до прямой  выражается формулой

Пример 14.

Найти расстояние от точки  до прямой

Решение: всё что нужно - аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ:

П.6.5. Угол между прямыми.

Пример 15.

Найти угол между прямыми .

1. Проверяем перпендикулярны ли прямые:

Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых: , значит, прямые не перпендикулярны. 2. Угол между прямыми найдём с помощью формулы: Таким образом: Ответ: