П.2.2. Определители.

2.3 Обратная матрица.

Рассмотрим квадратную матрицу  . Обратную матрицу   можно найти по следующей формуле:

, где   – определитель матрицы  ,   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Пример 1:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось,  , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров  .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица  , то есть в данном случае  .  Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице   – матрица миноров соответствующих элементов матрицы  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений  .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:  – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

5) Ответ. Вспоминаем нашу формулу 

Таким образом, обратная матрица:

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение   либо 

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие  , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно.

2.4. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу . Выберем в матрице А произвольно k строк с номерами i₁, i₂, … , i_k и k столбцов с номерами j₁, j₂, ... , j_k, . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу А_k порядка k.

Как мы уже знаем, определитель матрицы А_k называется минором k-гo порядка (минором порядка k) и обозначается или, когда не важно, какие именно строки и столбцы выбраны, обозначается M_k, т.е. по определению M_k = det А_k. Например, если

и выбраны строки c номерами i₁ = 1, i₂ = 3 и столбцы с номерами j₁ = 2, j₂ = 4, то

Число миноров второго порядка для этой матрицы равно 18.

Опр.16.Наивысший порядок миноров, не равных нулю, называется рангом матрицы и обозначается символами: rаng А или r_A.

Из этого определения легко получить следующее правило для нахождения ранга матрицы: если найден минор порядка r не равный нулю и любой минор порядка r + 1 равен нулю, то ранг матрицы А равен r.

Пример 1.2. Найти ранг матрицы:

.

Решение. Здесь

,

следовательно rаng А = 2.

Вычисление ранга матрицы по определению приводит к очень громоздким и длительным вычислениям, поэтому чаще всего он вычисляется с помощью элементарных преобразований матрицы.

Элементарные преобразования матрицы:

1) перестановка (транспозиция) строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов отроки (столбца) матрицы на действительное число ;

3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на действительное число.

Утверждение 2.2. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.