1. История становления и развития эконометрики

2. Парная линейная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях

Наиболее широкое распространение в эконометрических исследованиях получили линейные регрессионные модели вида (2.1)

_, (2.1)

где y – результативная (зависимая) переменная (фактор-результат);

x – независимая переменная (фактор-признак);

a,b – параметры модели.

Основными этапами эконометрического исследования являются следующие:

выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;

определение параметров уравнения регрессии;

оценка тесноты взаимосвязи (корреляции) исследуемых факторов;

оценка адекватности (статистической значимости) уравнения регрессии;

оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии.

Кроме указанных этапов, прикладные исследования могут включать этапы, связанные с проведением аналитического прогноза единичных значений результативной переменной, а также оценкой точности и достоверности прогноза.

Параметры регрессионной модели, как правило, оцениваются методом наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в том, что сумма квадратов отклонения фактических значений результативного признака (y_i) от соответствующих теоретических значений ( ), полученных на основе выбранной модели, должна быть минимальной:

. (2.2)

В данном случае на основе МНК образуется система нормальных уравнений, решая которую получают значения параметров отобранных регрессионных моделей. Так, для линейной регрессии ( ) система нормальных уравнений имеет вид (2.3):

(2.3)

После очевидных и несложных преобразований окончательные выражения для определения параметров линейной регрессии имеют вид:

(2.4)

(2.5)

где - среднее значение произведения факторов x и y;

- среднее значение фактора x;

- среднее значение фактора y;

- среднее значение фактора x²;

- квадрат среднего значения фактора x;

- среднее квадратическое отклонение фактора x;

- среднее квадратическое отклонение фактора y.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора-признака на одну единицу. Кроме того, в ряде случаев для удобства интерпретации параметра b используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака (в %) при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по следующей формуле:

. (2.7)

Параметр a может не иметь экономического смысла. Формально параметр a – значение фактора y при x=0. Если фактор-признак x не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра a не имеет смысла. Попытки экономически интерпретировать параметр a могут привести к абсурду, особенно при a < 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре a. Если a > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора x.

Выражения для нахождения линейного коэффициента корреляции:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

где n - размерность исследуемой выборки (количество наблюдений).

Величина коэффициента корреляции находится в пределах: и может принимать следующие значения:

если значение , то корреляция между исследуемыми факторами отсутствует (факторы некоррелированы);

если значение находится в пределах (0…0,3], то между исследуемыми факторами имеется слабая связь;

если значение находится в пределах (0,3…0,5], то между исследуемыми факторами имеется умеренная связь;

если значение находится в пределах (0,5…0,7], то между исследуемыми факторами имеется довольно устойчивая статистическая связь;

если значение > 0,7 , то между исследуемыми факторами имеется сильная связь (статистически значимая связь, факторы сильно коррелированны);

если значение = 1, то между исследуемыми факторами имеется функциональная зависимость.

Оценка адекватности формы регрессионной модели может быть проведена с помощью:

среднего коэффициента аппроксимации (Ā);

критерия Фишера;

коэффициента детерминации (R²).

Оценку адекватности регрессионной модели на основе среднего коэффициента аппроксимации используют следующее выражение (среднюю относительную погрешность):

, (2.11)

Уравнение регрессии считается адекватным (точным, статистически значимым), если значение среднего коэффициента аппроксимации не превышает 8…10%.

Наиболее полно и точно проверка адекватности регрессионных моделей проводится с помощью критерия Фишера:

если F_расч. > F_кр, то принимается основная гипотеза (H_o), свидетельствующая о правильности выбранной формы взаимосвязи исследуемых факторов;

если F_расч. < F_кр, то принимается альтернативная гипотеза (H₁), свидетельствующая о статистической незначимости выбранной формы взаимосвязи исследуемых факторов.

Эмпирическое (расчетное) значение критерия (F_расч.) определяется с помощью следующего выражения:

(2.12)

где D_факт – дисперсия факторная (3.18);

, (2.13)

D_ост – дисперсия остаточная, определяема по выражению (2.14);

m – число параметров уравнения регрессии;

. (2.14)

Табличное (критическое) значение критерия (F_кр.) определяется с помощью справочников или таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»): F_кр=FРАСПОБР(α=1-P; ν₁; ν₂),

где ν₁ и ν₂ - степени свободы (ν₁=m-1; ν₂=n-m).

Сущность чисел степеней свободы (df – degrees of freedom) заключается в определении чисел свободы независимого варьирования признака, т.е указывают сколько независимых отклонений из n возможных требуется для образования данной суммы квадратов.

Процедура вычисление расчетного значения критерия Фишера тесно связана с процедурой вычисления коэффициента детерминации (R²)

, (2.15)

Значение коэффициента детерминации имеет следующие значения R² [0; 1].

Сущность коэффициента детерминации заключается в том, что он показывает зависимость вариации значений результативного признака (в %) от вариации значений фактора-признака (независимой переменной).

Иногда (при больших значениях объема выборки (n)) используют упрощенную формулу для вычисления коэффициента детерминации R²:

. (2.16)

Приведенные выше выражения для вычисления коэффициента детерминации также используют при оценке тесноты взаимосвязи факторов нелинейной регрессии. Применительно к данной области эконометрических исследований для оценки тесноты взаимосвязи факторов нелинейной регрессии используется понятие корреляционного отношения (η):

(2.17)

где D_ост - остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии ;

D_общ - общая дисперсия результативного признака y;

. (2.18)

Величина показателя η находится в пределах: .