3.5. Графічні методи розв’язання систем рівнянь

Як бачимо, розв’язання рівнянь графічним методом не викликає особливих труднощів. Чого не можна казати про розв’язання систем рівнянь цим же методом. Дуже часто розв’язання навіть системи двох рівнянь з двома невідомими виявляється дуже складним.

Нехай задається система

Якщо обидва рівняння можливо відобразити в вигляді залежності однієї з двох змінних відносно іншої, то розв’язання системи значно спрощується. Нехай з першого рівняння системи маємо у=f₁(х), а з другого у= f₂(x). В результаті отримуємо рівняння (х)= f₁(х)- f₂(х)=0, яке вирішується одним із розглянутих раніше способів.

Приклад 4. Знайти графічним способом розв’язок системи рівнянь

вважаючи, x>0.

Розв’язок. Вирішуємо рівняння відносно у:

у

будуємо графіки функцій та (рис.3.6). Абсциса і ордината точки перетину цих кривих і будуть розв’язком вказаної системи х1,22; у-0,28.

Рис.3.6. Графіки функцій та .

Навіть при дуже старанній побудові графіків рівнянь та систем рівнянь значення коренів ми можемо отримувати з невеликою точністю. Тому для отримання цих значень з любою заданою точністю необхідно застосовувати методи, які дозволятимуть „уточнювати” знайдені графічним методом значення.

3.6. Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь

Якщо алгебраїчне або трансцендентне рівняння достатнє складно, то досить рідко вдається точно знайти його коріння. Крім того, у деяких випадках рівняння може містити коефіцієнти, відомі лише приблизно, тому сама задача про точне знаходження кореня втрачає сенс. У таких випадках застосовують чисельні (наближені) методи розв'язку.

Поставимо задачу знайти таке наближене значення кореня x_пр, яке мало відрізняється від точного значення кореня x*, так що виконується нерівність │x* – x_пр │< e, де e (іпсилон) – мала позитивна величина – припустима помилка, яку ми можемо заздалегідь задати за своїм розсудом. Якщо корінь знайдений з точністю e, то прийнято писати x* = x_пр ± e.

Будемо припускати, що рівняння (1) має лише ізольований корінь, тобто для кожного кореня існує околиця, що не містить інших коренів цього рівняння.

3.6.1. Етапи наближеного розв'язку нелінійних рівнянь

Наближене розв'язання рівняння складається із двох етапів:

1. Відділення коренів, тобто знаходження інтервалів з області визначення функції f (x), у кожному з яких знаходиться тільки один корінь рівняння (1).

2. Уточнення кореня до заданої точності.

Навіть при дуже старанній побудові графіків рівнянь та систем рівнянь значення коренів ми можемо отримувати з невеликою точністю. Тому для отримання цих значень з любою заданою точністю необхідно застосовувати методи, які дозволятимуть „уточнювати” знайдені графічним методом значення.

Процес знаходження наближених значень коренів рівнянь розбивається на два етапу:

1) Відокремлення коренів;

2) уточнення коренів до заданої точності.

3.6.2. Відокремлення коренів

Розглянемо перший етап – відокремлення коренів.

Відділення (відокремлення) коренів можна проводити графічно й аналітично.

Визначення. Корінь  рівняння f(x)=0 вважається відокремленим на інтервалі [a, b], якщо на цьому відрізку рівняння f(x)=0 не має других коренів.

Відокремлення коренів означає, що треба розбити всю область допустимих значень на відрізки, в кожному з яких знаходиться один корінь. Відокремлення коренів ми можемо провести двома способами - графічним та аналітичним.

Графічний метод відокремлення коренів. При графічному методі відокремлення коренів діють таким чином як і при графічному методі розв’язання рівнянь. Відрізки, в яких знаходиться тільки по одному кореню, легко знаходяться (див рис.3.7).

Рис.3.7.

Зауваження. Нехай графік функції f(x)=0 має вигляд такий, як це показано на рис.3.7. Крива тричі перетинає вісь абсцис, тобто, рівняння має три прості кореня.

Якщо крива доторкається осі абсцис, то рівняння має двохкратний корінь. Наприклад, рівняння x³-3x+2=0 має три кореня x₁=-2, x₂=x₃=1 (рис.3.8). При цьому можливо, що корені будуть кратними.

Якщо ж рівняння має трьохкратний дійсний корінь, то в точці дотику з віссю крива у=f(x) має точку перегину (рис.3.9, рівняння x³-3x²+3x-1=0 має трьохкратний корінь x₁=x₂=x₃=1).

y

Рис.3.8.

Рис.3.9.

Графічний метод відокремлення коренів не має великої точності. Він дає можливість грубо визначати інтервали ізоляції кореня. В подальшому корені уточнюються за допомогою методів розв’язання нелінійних рівнянь такими як, наприклад, метод хорд, дотичних, ітерацій тощо.

Аналітичний метод відокремлення коренів.

Аналітичні методи відокремлення коренів рівняння f(x)=0 полягають в використанні деяких властивостей функцій, які вивчаються в курсі математичного аналізу.

Перелік (без доказу) необхідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція неперервна на відрізку [a, b] і отримує на кінцях цього відрізка значення різних знаків, то всередині відрізка [a, b] існує як найменше один корінь рівняння f(x)=0.

Теорема 2. Якщо функція f(x)неперервна та монотонна на відрізку [a, b] та приймає на кінцях відрізка значення різних знаків, то всередині відрізка [a, b] знаходиться корінь рівняння f(x)=0 і цей корінь єдиний.

Теорема 3. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] та приймає на кінцях відрізка значення різних знаків, а її похідна f’(x) зберігає постійний знак всередині відрізка, то всередині відрізка [a, b] знаходиться корінь рівняння f(x)=0 і цей корінь єдиний.

Наведемо деякі відомості з математичного аналізу, які знадобляться в подальшому.

a)	б)
в)	г)

Рис.3.10.

Якщо функція f(x) задана аналітично, то областю існування (областю визначення) функції є сукупність всіх дійсних значень аргументу за якими аналітичний вираз функції не втрачає числового сенсу та приймає тільки дійсні значення.

Функція f(x) називається зростаючою, якщо при зростанні аргументу значення функції також зростає (див. рис.3.10, а та в), і спадаючою, якщо при зростанні аргументу, значення функції зменшується (див. рис.3.10, б, та г).

Функція зветься монотонною, якщо вона на заданому проміжку тільки зростає, або спадає.

Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] та приймає на кінцях відрізка значення різних знаків, а її похідна f(x) зберігає постійний знак всередині проміжку (a, b). Тоді якщо всередині проміжку (a, b) перша похідна додатна, тобто f(x)>0, то функція на цьому проміжку зростає (рис.3.10, а та в). В протилежному випадку, коли всередині проміжку (a, b) перша похідна від’ємна f(x)<0, то функція на цьому проміжку спадає. Коренем функції є абсциса точки перетину графіка функції f(x) з віссю Ох.

Коли на відрізку [a, b] функція f(x) має похідну другого порядку, яка зберігає постійний знак на всьому відрізку, то у випадку, коли f (x)>0, графік функції буде випуклим вниз(рис.3.10, а та г). При f(x)<0 графік функції буде випуклим вгору (рис.3.10, б та в).

Точки, в яких перша похідна функції дорівнює нулю, а також ті, в яких ця похідна не існує (наприклад, обертається в безкінечність), але функція зберігає безперервність, звуться критичними (необхідна ознака екстремуму).

Якщо функція безперервна на відрізку [a, b], то на цьому відрізку завжди є точки, в яких вона досягає найбільшого та найменшого значень. Цих значень функція досягає або в критичних точках, або на кінцях відрізка.

В зв’язку з вищесказаним рекомендовано наступний порядок дій для відокремлення коренів аналітичним методом.

1. Знайти першу похідну f(x).

2. Скласти таблицю знаків функції f(x), беручи х рівним: а) критичним значенням (кореням) похідної або наближеним до них; б) граничним значенням (виходячи з відомої області допустимих значень невідомого).

3. Визначити інтервали, на кінцях яких функція приймає значення протилежних знаків. Всередині цих інтервалів міститься по одному і тільки по одному кореню.

Приклад. Визначити корінь рівняння 2^х-5х-3=0 аналітичним методом.

Розв’язок. Позначимо f(x)= 2^х-5х-3. Знайдемо першу похідну.

f(x)= 2^хln2-5.

Прирівнюємо похідну до нуля та обчислюємо корінь:

2^хln2-5=0; 2^хln2=5; 2^х= ; xlg2=lg5-lgln2;

x= .

Складаємо таблицю знаків функції f(x), поклавши х рівним: а) критичним значенням (кореням похідної) або найближчим до них; б) граничним значенням (виходячи з області допустимих значень невідомого):

х	-	2	3	+
Sign f(x)	+	-	-	+

Рівняння має два кореня, тому що відбулося дві зміни знака функції. Складемо нову таблицю, з меншими інтервалами ізоляції кореня:

х	-1	0	1	2	3	4	5
sign f(x)	+	-	-	-	-	-	+

Корені рівнянь знаходяться в межах (-1,0) і (4,5).