3.3. Основні методи розв'язання нелінійних рівнянь. Аналітичний метод

Методи розв'язання будь-яких рівнянь (алгебраїчні рівняння, диференціальні рівняння, системи лінійних рівнянь) бувають трьох типів:

• прямі (точні, кінцеві),

• графічні,

• ітераційні (наближені, нескінченні).

Прямі методи - розв’язання знаходиться за заздалегідь відоме число арифметичних дій, розв'язання точне (строге). Приклади: коріння квадратного рівняння, кубічного і четвертого ступеня.

Історична довідка. Алгебраїчні рівняння третього й четвертого ступеня не піддавалися зусиллям математиків близько 2000 років. Цю задачу розв'язали італійські математики епохи Ренесансу: розв'язок кубічного рівняння, опубліковане Кардано в 1545г., зв'язують із іменами Спіцион дель Ферро, Нікколо Тарталья, Джироламо Кардано; розв'язок рівнянь 4-го ступеня знайдене Людовіко Феррарі. Для рівнянь 5-ої і більш високих ступенів аналогічних формул не існує. Цей факт відомий як теорема Абеля, доведена їм у віці близько 22 років.

3.4. Графічні методи розв’язання нелінійних рівнянь

Одним з методів розв’язання рівнянь є графічний. Точність такого розв’язання невелика, однак за допомогою графіка ми можемо вибрати перше наближення, з якого почнеться подальше розв’язання рівняння. Існує два способи графічного розв’язання рівнянь.

Перший спосіб. Всі члени переносять в ліву сторону, тобто представляють рівняння у вигляді f(x)=0. Після цього будують графік функції y= f(x), де f(x)- ліва частина рівняння. Абсциси перетинання графіка функції y= f(x) з віссю Ох і будуть коренями рівняння, тому що в цих точках y= 0.

Другий спосіб. Всі члени рівняння розбивають на дві групи, одну з яких записують в лівій частині рівняння, а іншу – в правій. Тобто, рівняння набуває вигляду (х) =g(x). Після цього будують графіки двох функцій y= (х) та y= g(x). Абсциси точок перетину графіків цих двох функцій и слугують коренями даного рівняння. Нехай точка перетину графіків має абсцису х₀, ординати обох графіків в цій точці рівні між собою, тобто (х₀) =g(x₀). Із цієї рівності і витікає, що х₀ – корінь рівняння.

Приклад. 1.

Вирішити графічним способом рівняння х³-2х²+2х -1=0.

Перший спосіб. Побудуємо графік функції y= х³-2х²+2х -1 і визначимо абсциси точок перетину цього графіка з віссю Ох.

y

Рис.3.2. Графік функції y= х³-2х²+2х -1 (перший спосіб).

Крива перетинає вісь Ox в точці х=1, що означає, що дане рівняння має один корінь (рис.3.2). (Взагалі алгебраїчне рівняння третьої степені має або один дійсний корінь, або три. В даному випадку ми маємо один дійсний корінь. Інші два - комплексні.)

Другий спосіб. Представляємо це рівняння у вигляді х³=2х²-2х+1. Побудуємо графіки функцій y= х³ та y=2х²-2х+1 і визначимо абсциси точок перетину цих графіків; отримаємо х=1 (рис.3.3).

у

Рис.3.3. Графіки функції y= х³ та y=2х²-2х +1 (другий спосіб).

Приклад 2. Знайти графічним способом наближенні корені рівняння

lg х - 3х + 5 = 0

Для розв’язання перепишемо рівняння наступним чином:

lg х = 3х-5

Функції в лівій і правій частинах рівняння мають загальну область визначення: інтервал 0<x<+. Тому шукаємо корені якраз на цьому інтервалі.

Будуємо графіки функцій y= lg х та y=3х-5 (рис.3.4). Логарифмічна крива y= lg х перетинає пряму y=3х-5 в двох точках з абсцисами х₁0,00001 та х₂1,75. На малюнку важко показати перетин графіків цих двох кривих в першій точці, але враховуючи те, що нижня гілка логарифмічної кривої необмежено наближається до осі Оу, ми маємо всі підстави вважати, що перетин цих двох графіків відбудеться поблизу точки перетину графіка функції y=3х-5 і осі Оу. Тобто корені рівняння х₁0,00001 та х₂1,75.

Рис.3.4. Графіки функції y= lg х та y=3х-5 (другий спосіб).

Приклад 3. Знайти графічно корені рівняння 2^x =2х.

Розв’язання. Будуємо графіки функцій y= 2^x та y=2х. Ці графіки перетинаються в двох точках, абсциси яких рівняються х₁=1 та х₂= 2 (рис.3.5). Тому дане рівняння має два кореня х₁=1 та х₂= 2.

Рис.3.5. Графіки функції y= 2^x та y=2х (другий спосіб).

Висновок.

Для графічного розв’язання рівняння f(x)=0, всі корені якого належать до інтервалу [a, b], використаємо таку просту схему:

1. Представити дане рівняння в вигляді (х)= g(х) з таким розрахунком, щоб функції у=(х) та у=g(x) були простими та зручними для дослідження і побудови.

2. На міліметровому папері (є й інші способи, більш сучасні), накреслити графіки функцій у=(х) та у=g(x) на інтервалі [a, b].

3. Якщо графіки не перетинаються, то коренів на даному проміжку немає. Якщо ж графіки перетинаються, то необхідно визначити точки їх перетину, знайти абсциси цих точок, які й будуть наближеними значеннями коренів цього рівняння.