Лекція 3. Методи розв'язання нелінійних рівнянь

Мета. Ознайомити студентів з основними методами розв’язання нелінійних рівнянь, етапами наближеного розв’язку нелінійних рівнянь, методами відокремлення коренів.

Обладнання. Мультимедійна дошка, комп’ютерні презентації до теми.

План лекції

1. Вступ.

2. Класифікація нелінійних рівнянь.

3. Основні методи розв'язання нелінійних рівнянь. Аналітичний метод.

4. Графічні методи розв’язання нелінійних рівнянь.

5. Графічні методи розв’язання систем рівнянь.

6. Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь.

7. Етапи наближеного розв'язку нелінійних рівнянь..

8. Відокремлення коренів.

9. Коротко про головне.

10. Контрольні питання.

3.1. Вступ

Математичними моделями багатьох об'єктів і процесів навколишнього світу е нелінійні рівняння і системи нелінійних рівнянь: алгебраїчні і трансцендентні - для сталих станів, диференціальні — для динамічних процесів. У цієї лекції ми розглянемо методи розв'язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

При рішенні практичних завдань часто доводиться стикатися з розв’язанням рівнянь з однією невідомою , де (x) і (х) задані функції, визначенні на деякій числовій множині Х, яке зветься областю допустимих значень рівняння.

Будь - яке рівняння з однією невідомою можна привести до вигляду:

f(x)=0 (3.1)

Сукупність значень змінної х, що задовольняють рівняння (1) називають коренями рівняння. Наприклад, рівняння має корені та . Підставляючи отримані корені в рівняння (3.1) замість х, отримуємо тотожності (-2)²-2-20 і (1)²+1-20.

3.2. Класифікація нелінійних рівнянь

В залежності від того, які функції входять в рівняння (3.1), вони поділяються на два класи - алгебраїчні та трансцендентні.

а) Алгебраїчною називається функція, якщо для її отримання за даним значенням змінної х необхідно виконати арифметичні операції та операцію підвищення до степеню з раціональним показником. Алгебраїчна функція називається раціональною відносно змінної х, якщо над х виконуються тільки арифметичні дії та дія піднесення в цілу степінь. Наприклад:

Якщо в раціональну функцію змінна х не входе в якості дільника, або не входить в склад виразу, що є дільником, то така функція називається цілою раціональною.(перший приклад).

Якщо в раціональну функцію змінна х входе в якості дільника, або входить в склад виразу, що є дільником, то така функція називається дробно-раціональною.(другий приклад).

Функція називається ірраціональною, якщо для отримання значень функції за даним значенням х необхідно виконати окрім чотирьох арифметичних дій, ще й вилучення кореня. Аргумент х має бути під знаком радикалу. Наприклад:

б) До трансцендентних функцій відносяться ті, які містять в собі показникові (а^х), логарифмічні (log_ax), тригонометричні (sin x, cos x ,...) та інші функції.

Рис.3.1 – Класифікація нелінійних рівнянь

Задачу знаходження коренів можна вирішити різними способами (графічним, аналітичним) та чисельними методами (метод хорд, дотичних (Ньютона), та інші) з будь - якою заданою точністю.