Спрощення ігор

Якщо платіжна матриця гри не містить сідлової точки, то складність розв'язання задачі можна значно знизити, якщо зменшити розмірність платіжної матриці шляхом викреслювання дублюючих та заздалегідь невигідних стратегій.

Дублюючим стратегіям відповідають рівні стрічки (стовпчики) платіжної матриці. Якщо всі елементи i-ої стрічки (стовпчика) платіжної матриці не більші відповідних елементів стрічки (стовпчика) j, то стратегія А_і (В_j) називається заздалегідь невигідною.

Приклад виключення невигідних стратегій

Нехай дано платіжну матрицю. Знайдемо оцінки стратегій а потім верхню та

	B1	B2	B3	B4	B5
A1	8	6	4	5	1	1
A2	5	4	3	2	3	2
A3	6	7	6	3	5	3
A4	3	3	2	1	2	1
	8	7	6	5	5

нижню ціни гри. Оскільки вони різні , то сідлової точки не існує. Порівнюючи стрічки А2 та А3, А3 та А4, виключаємо стратегії А2 та А4, як заздалегідь невигідні відносно стратегії А3.

	B1	B2	B3	B4	B5
A1	8	6	4	5	1	1
A3	6	7	6	3	5	3
	8	7	6	5	5

Оскільки гравець В мінімізує виграш гавця А, то для нього стратегії В1, В2, В3 заздалегідь невигідні в порівнянні із стратегією В5:

	B4	B5
A1	5	1	1
A3	3	5	3
	5	5

Розв'язавши гру 2х2, формуємо загальні оптимальні мішані стратегії:

.

Розв'язання ігор

Можна показати, що довільна гра mxn має розв'язок, в якому число активних стратегій кожного гравця не перевищує . Тобто ігри мають розв'язок, який містить не більше двох активних стратегій в кожного з гравців.

Отже розв'язок гри можна будувати наступним чином:

1. будується графічна модель гри;

2. виділяється ламана нижньої межі виграшу гравця А і знаходиться її максимум, що рівний ціні гри ;

3. визначається пара стратегій, які перетинаються в точці оптимуму. Це будуть активні стратегії гравця В. Якщо в точці оптимуму перетинаються більше двох кривих, то можна вибрати з них довільну пару;

4. параметри мішаних стратегій визначаються як для гри .

Розв'язок гри можна будувати подібно до попереднього. При цьому слід враховувати, що в цьому випадку шукається ламана верхньої межі прогашу гравця В і шукається її мінімальна точка.

Приклад розв'язку гри

	B1	B2	B3
A1	1	4	7	1
A2	6	3	2	2
	6	4	7

, отже гра не має сідлової точки. Будуємо графічну модель

Ломана B₁NMB₂ це нижня межа виграшу гравця А. Точка N є точкою оптимуму, тобто активними стратегіями гравця В є стратегії В1 та В2. Оптимальну стратегію гравця А знаходимо із системи рівнянь

(4.16)

р озв'язавши яку отримуєм:

Аналогічно знаходимо оптимальну стратегію гравця В із системи рівнянь

(4.17)

звідки

Приклад розв'язку гри

	B1	B2
A1	0,4	1,0	0,4
A2	0,5	0,5	0,5
A3	1,0	0,3	0,3
A4	0.8	0,3	0,3
	1,0	1,0

, отже гра не має сідлової точки. Стратегію А4 виключаємо як заздалегідь невигідну. Будуємо графічну модель

Ломана А₃NА₁ це верхня межа програшу гравця В. Точка N є точкою оптимуму, тобто активними стратегіями гравця А є стратегії А3 та А1. Оптимальну стратегію гравця В знаходимо із системи рівнянь

(4.18)

р озв'язавши яку отримуєм:

Аналогічно знаходимо оптимальну стратегію гравця А із системи рівнянь

(4.19)

звідки