Рекурсивні алгоритми
Формується початковий розподіл коштів одразу по всіх етапах, який потім прагнуть покращити, причому завідомо неоптимальні варіанти виключаються.
Початковий план будується за принципом максимального включення: початковим етапам кошти виділяються по максимуму. Якщо при цьому останньому з етапів виділено максимальну кількість коштів, то початковий план – оптимальний.
Далі, починаючи з останнього етапу (m), іде поступовий перерозподіл коштів за рахунок попереднього (m-1). З попереднього знімається така кількість коштів, щоби прибуток на останньому етапі збільшувався. Коли кошти попереднього етапу вичерпуються переходять до більш раннього (m-2). При виділенні коштів з етапу m-2 для етапу m-1 кошти знову виділяються за принципом максимального включення. Після цього наступні модифікації починаються із відбирання коштів знову з етапу m-1. При побудові кожного нового варіанту його прибуток порівнюється із найкращим з попередньо досягнутих. При ручних обчисленнях зручно помічати (*) варіанти, які не є оптимальними. Якщо в даному варіанті отримано кращий виграш, то вже він помічається як поточний оптимальний варіант.
Алгоритм завершується при неможливості побудови нових варіантів. Варіанти, які на той момент були поточно-оптимальними будуть визначати оптимальні управління даного процесу. Даний алгоритм легко програмується з використанням рекурсивних процедур.
Приклад: В умовах попередньої задачі отримаємо наступну послідовність варіантів розподілу, яка приведе до тих же оптимальних розподілів, які отримуються методом динамічного програмування.
етапи |
Сi |
Fi |
Сi |
Fi |
Сi |
1 |
2 |
6 |
2 |
6 |
1 |
2 |
3 |
9 |
2 |
8 |
4 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
|
5* |
15* |
5 |
17 |
5 |
етапи |
Fi |
Сi |
Fi |
Сi |
Fi |
1 |
5 |
1 |
5 |
0 |
0 |
2 |
12 |
3 |
9 |
4 |
12 |
3 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
|
17 |
5 |
17 |
5* |
15* |
Теорія ігор
В багатьох сферах людської діяльності часто зустрічаються проблема прийняття управлінських рішень в умовах невизначеності. Ситуації, в яких ефективність рішення, що приймається однією стороною, залежать від дій іншої сторони, називаються конфліктними. Конфліктна ситуація буде антагоністичною, якщо збільшення виграшу однієї із сторін на деяку величину приведе до зменшення виграшу іншої сторони на таку ж величину.
Гра є математичною моделлю реальної конфліктної ситуації, аналіз якої ведеться згідно відповідних правил. В загальному випадку правила визначають послідовність ходів, обсяг інформації кожної сторони про поведінку іншої та результат гри.
Якщо в грі беруть участь дві сторони, вона називається парною, а якщо більше – то множинною. Учасники множинної гри можуть утворювати коаліції. Множинна гра перетворюється в парну, коли її учасники утворюють дві постійні коаліції. Сторони, що беруть участь у грі (конфлікті) називаються гравцями. Стратегією гравця є сукупність правил, які визначають вибір варіанту дій при кожному особистому ході гравця в залежності від ситуації, що склалася в грі. В простій одноходовій грі поняття стратегії та вибору ходу гравця співпадають.
Гра називається скінченною, якщо число стратегій гравців скінченне і нескінченно, якщо хоча б у одного з гравців число стратегій нескінченне. Стратегія гравця називається оптимальною якщо вона забезпечує даному гравцю при багаторазовому повторенні гри максимально можливий середній виграш або мінімально можливий середній програш , незалежно від поведінки суперника.
Вибір однієї з передбачених правилами гри стратегій та її здійснення називають ходом. Ходи бувають особисті та випадкові. В особистому ході гравець свідомо вибирає один із можливих варіантів дій та здійснює його. При випадковому ході вибір відбувається не гравцем а механізмом випадкового вибору.
Використовують два способи описання ігор: позиційний та нормальний. Позиційний спосіб пов’язаний зводиться до графа послідовних кроків (дереву гри). Нормальний спосіб полягає представленні стратегій гравців та платіжної функції, яка визначає для кожної сукупності стратегій, що вибрані гравцями, виграш кожної із сторін. Якщо в партії виграш одного з гравців рівний програшу інших, то таку гру прийнято називати грою з нульовою сумою.
Для опису парної гри з нульовою сумою використовують платіжну матрицю, елементи якої визначають суму виграшу першого гравця та програшу другого гравця при виборі ними відповідних стратегій.
Приклад 1. Побудова платіжної матриці. Розглянемо парну скінченну парну гру з нульвою сумою. Кожен з гравців може записати одну із цифр {1,2,3}. Якщо різниця між очками додатня, то перший гравець виграє різницю, якщо від’ємна, то другий гравець виграє різницю. При рівності очок – нічия. Нижче наведено матрицю описаної гри
|
B1=1 |
B2=2 |
B3=3 |
A1=1 |
0 |
-1 |
-2 |
A2=2 |
1 |
0 |
-1 |
A3=3 |
2 |
1 |
0 |
