2.6.2. Интервальная оценка математического ожидания нормальной генеральной совокупности случайной величины при неизвестной дисперсии.

Часто значение генеральной дисперсии ² исходного распределения оказывается неизвестным. Тогда при построении доверительных интервалов для генерального среднего используют выборочную дисперсию S².

В этом случае нормированная случайная величина, аналогичная (2.31) записывается в виде

, (2.35)

где S - выборочное среднеквадратическое отклонение.

Величина t подчиняется распределению Стьюдента.

Используя понятие квантили и проведя рассуждения, аналогичные приведенным в п. 2.6.1, можно получить выражение для расчета границ доверительного интервала для генерального среднего при неизвестной дисперсии ²

, (2.36)

где t_, - значение квантили статистики t для уровня значимости =1-P и числа степеней свободы =N-1, определение которых можно произвести по таблице П6.

Пример: По результатам испытаний на разрыв 20 образцов из дюралюминиевого прессованного профиля определили, что для предела прочности выборочное среднее составило при выборочном среднеквадратическом (стандартном) отклонении s=11.26 МПа. Требуется определить 90 % -ный доверительный интервал для генерального среднего значения предела прочности материала данного профиля.

Для уровня значимости =1-0.9=0.1 и числа степеней свободы =20-1=19 по таблице квантилей (двусторонних пределов) t-распределения Стьюдента (см. табл. П6) находим t_0.1,19=1.73. По формуле (2.36) рассчитываем

;

449 МПа < m < 457 МПа

2.6.3. Интервальная оценка дисперсии нормальной генеральной

совокупности случайной величины.

При построении доверительного интервала для дисперсии нормально распределенной случайной величины Х используют случайную величину

, (2.37)

подчиненную распределению Пирсона или ² - распределению.

Если задать вероятность Р=Р₂-Р₁ обнаружения случайной величины в интервале ( , ), то используя понятие квантили, можно записать:

Из последнего выражения можно выделить интервальную оценку генеральной дисперсии для доверительной вероятности Р=Р₂-Р₁:

(2.38)

Обычно задаются уровнем значимости  (чаще всего =0,05, реже =0,10) и принимают симметричные доверительные границы из условий р₁= и р₂=1-/2. Значения квантилей распределения Пирсона и можно определить по табл. П6.

Пример: По результатам испытаний на разрыв 20 образцов из дюралюминиевого прессованного профиля определили, что выборочное среднеквадратическое (стандартное) отклонение составило s=11.26 МПа. Требуется определить 90 % -ный доверительный интервал для генеральной дисперсии и среднеквадратического отклонения предела прочности материала данного профиля.

Для уровня значимости =1-0.9=0.1 доверительная вероятность для левой границы составит Р₁=/2=0.1/2=0.05 , для правой границы Р₂=1-/2=1-0.1/2=0.95, число степеней свободы =20-1=19. По таблице ^_-пределов (квантилей) -распределения Пирсона (см. табл. П6) находим ²_0.05,19=30.1 и²_0.95,19=10.1 . По формуле (2.38) рассчитываем

;

;

, МПа