2. Статистическое оценивание
2.1. Понятие вероятности
В основе построения различного рода статистических моделей лежит теория вероятностей - математическая теория изучающая объективные закономерности массовых случайных явлений.
Основополагающим понятием теории вероятности является понятие событие. Под событием подразумевается явление, которое происходит (или не происходит) в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий, т.е. в результате проведения опыта (часто говорят - в результате проведения испытания). При этом предполагается, что условия проведения опыта (величины уровней контролируемых факторов) могут быть воспроизведены в неизменном виде сколь угодно большое число раз. Используя описанную выше системную модель, событие может быть рассмотрено как наличие или отсутствие определенного уровня отклика этой модели.
Говоря о воспроизводимости условий проведения опыта, строго говоря (и практически), можно гарантировать только воспроизводимость управляемых и контролируемых факторов (хi и hн). В то же время, наличие неконтролируемых факторов (н) определяет вероятностный характер событий.
Каждому событию может быть приписан один из трех типов:
достоверное событие - обязательно произойдет в результате проведения опыта;
невозможное событие - не может произойти в результате проведения опыта;
случайное событие - может произойти, а может и не произойти в результате проведения опыта.
Количественной мерой объективной возможности осуществления события при фиксированных уровнях факторов является вероятность этого события.
По ГОСТ 15895-77, вероятностью события А называется число от нуля до единицы, которое представляет из себя предел частоты реализации события А при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий:
,
(2.1)
где nА - частота реализации события А; N-количество испытаний.
Эмпирической мерой вероятности (эмпирической вероятностью)служит отношение числа появления события А - nA к общему числу наблюдений N:
.
(2.2)
Эмпирическая вероятность при ограниченном числе наблюдений N является некоторым приближением (оценкой) для теоретической вероятности, определенной выражением (2.1).
Из определения вероятности очевидно, что для некоторого события А:
- Р(А)=1 - если событие А достоверное;
- Р(А)=0 - если событие А невозможное;
- 0Р(А)1 - если событие А случайное.
Часто в результате проведения одного и того же опыта возможно появление двух или более событий. В этом случае события находятся в некотором взаимном отношении.
События А и В называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.
События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.
Два события А
и
называются противоположными
или взаимно дополнительными, если
непоявление одного из них в результате
данного испытания влечет появление
другого (
читается “не А”).
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них или любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий .
События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другие.
В теории вероятности существует значительное количество теорем, составляющих мощный математический аппарат, позволяющий в значительной степени упростить процесс проведения эксперимента. Особенно эффективно применение теории вероятности на стадии предпланирования эксперимента, когда необходимо выявить полный, но по возможности минимальный набор факторов, влияющих на объект исследования. Однако часто качественного описания случайных явлений в терминах событие, когда отмечается лишь факт его наличия или отсутствия, оказывается недостаточно. В этом случае результаты опытов представляют количественно, в виде некоторой физической величины, носящей вероятностный характер, т.е. являющейся случайной величиной.