Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности. Вероятности появления каждого события известны. Как найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий (т.е. или одно, или два, …, или все n событий)?
Заранее известны вероятности прихода на лекцию каждого студента группы СУА. Какова вероятность того, что на лекции будет хотя бы один студент этой группы?
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1,…, Аn , независимых в совокупности, равняется:
,
где
- противоположные события.
Доказательство:
Событие А – появление хотя бы одного из событий. Тогда Ā – непоявление ни одного события (не наступит ни 1-е, ни 2-е, …, ни n-е событие).
Ā = Ā1 Ā2 … Ān
Т.к. события
независимы
и
Пусть события
значат соответственно, что группы ГКСР,
СУА, ЗИОД пришли на лекцию в полном
составе. Будем считать эти события
независимыми и пусть
(
либо пришли, либо нет). Найти вероятность
того , что на лекции есть хотя бы одна
группа в полном составе.
Событие А – «хотя бы одна группа пришла в полном составе».
Теоремы сложения вероятностей
Теперь, имея уже представления об элементарных действиях над событиями и оставаясь в рамках классического определения вероятности Р(А) = m/n (m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n - общее число элементарных исходов) докажем теорему сложения вероятностей.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:Р(А+В) = Р(А)+Р(В)
Доказательство.
n - число всех элементарных исходов.
m1 – число исходов, благоприятствующих А.
m2 – число исходов, благоприятствующих В.
Р(А+В)=(m1+m2)/n = m1/n + m2/n = P(A) + P(B)
Следствие. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме этих событий:
P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
Доказательство.
Рассмотрим 3 события.
P(A1+A2+A3)=P((A1+A2)+A3)=
(т.к. события несовместны) =P(A1+A2)+P(A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).
На произвольное число событий доказательство обобщается методом матиндукции.
Вспомним полную группу попарно несовместных событий (события образуют полную группу попарно несовместных событий, если в результате опыта обязательно происходит только одно из них).
Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:
P
(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
Доказательство.
А1+А2+…+An=Ω (достоверное событие)
P(Ω)=1 P(A1+…+An)=1
Т.к. несовместны, то
P(A1)+…+P(An)= P(A1+…+An)=1.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: P(A)+P(Ā)=1
Доказательство: противоположные образуют полную группу.
Найти вероятность того, что ни она из граней случайно выбранной костяшки домино не кратна 4.
1 |
4 |
|
2 |
4 |
|
3 |
4 |
|
6 |
4 |
|
4 |
4 |
|
5 |
4 |
|
6 |
4 |
P(A)=7/28=1/4.
Нам нужно найти вероятность противоположного
события P(
)=1-1/4=3/4.
М
ы
помним, что Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – если А, В
несовместны. А если совместны?
Т
еорема.
Вероятность суммы двух
с
овместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного появления.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Доказательство.
Событие А+В, наступит, если произойдёт одно из 3 несовместных
событий:
+
=
(произойдет А и не
произойдет В)+
(произойдет В и не произойдет А)+
(произойдут оба)
P( + )=P( + + ) =(т.к. события несовместны) = =P( )+P( )+P( ) *
Найдем P( ) и P( ): = + (сумма двух несовместных событий)
P( ) = P( )+P(АВ) => P( ) = P( ) – P( )
Аналогично = +
P( )=P( )+P( ) => P( )=P( )-P( ). Тогда, подставляя в *
*= P( )-P( )+P( )–P( )+P( )=P( )+P( )-P( )
Замечания.
Если и несовместны, то Р( )=0 и Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Если и независимы, то Р( + )=Р( )+Р( )-Р( )Р( )
Если и зависимы, то Р( + )=Р( )+Р( )-Р( )Р( / )
Два стрелка сделали по 1 выстрелу. Вероятность попадания в мишень 1-ым стрелком равна 0.7, 2-ым - 0.6. Найти вероятность того, что попал хотя бы один из них
Событие А – попал 1-ый стрелок.
Событие В – попал 2-ой стрелок.
События совместные и независимые.
Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0.7+0.6-0.42=0.88.