Действия над случайными событиями

Прежде чем ввести аксиоматическое определение вероятности, рассмотрим, какие действия можно производить над событиями. Для простоты мы будем рассматривать классическую схему с равновозможными исходами.

Мы уже ввели понятие элементарного – простейшего, неделимого исхода испытания и определили, что множество всех элементарных исходов называется пространством элементарных исходов Ω.

 Испытание: подбрасывание 2 монет.

 Испытание: вытаскивание костяшки домино

Напомним, что случайное событие А - произвольное подмножество пространства элементарных исходов Ω ( ).

 Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: ٱ + ٱ ≥ 10 ={ |5|5|, |5|6|, |6|6|, |6|4|}

Событие B: ٱ 3 и ٱ  3 ={|3|3|,|3|6|,|6|3|,|6|6|}

Событие C: ٱM 2 - много

Событие D: ٱ ≥ 0, ٱ ≥ 0 , D = Ω

Событие Е: ٱ + ٱ ≥ 15 E = 

Т. о. очевидно однозначное соответствие между множествами и событиями. Рассмотрим те события, определения которых мы уже дали.

	Множество	События
Ω	Множество (универсум)	Пространство элементарных исходов
wiєΩ	Элемент множества	Элементарный исход
A  Ω	Подмножество	Событие
A = Ω	A = Ω	Достоверное событие
B = 		Невозможное событие

Теперь рассмотрим действия над событиями, воспользовавшись диаграммами Эйлера-Венна.

Произведением двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события А и В, т. е. состоящее из исходов, которые принадлежат и А и В.

С = АВ, С = АВ - пересечение.

А

В

С

 Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: ٱ + ٱ M 3

Событие В: ٱ + ٱ M 2

Событие С =АВ: ٱ + ٱM 6

События А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием.

АВ = , АВ = 

 Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: дубль

Событие В: ٱ + ٱ –нечетное число

Событие С =АВ=

Суммой двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В., т. е. С состоит из исходов которые принадлежат хотя бы одному из подмножеств А или В.

С = А + В,С = АВ

А

В

С

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

 Испытание: ожидание в тоске

Событие : приходит Вася.

Событие : приходит Маша.

Событие : приходит куратор.

Событие : приходит декан.

Событие В: приходит хоть кто-нибудь

Событием Ā, противоположным событию А называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит А.

Ω

Ā * А = 

А + Ā = Ω

 Испытание: вытаскивание костяшки домино

Событие А: дубльпусто

Событие Ā: все остальное

Аксиоматический подход к определению вероятности.

Любая уважающая себя точная наука имеет аксиоматическое построение. Т.е. вводятся неопределяемые аксиоматические понятия, формулируется система аксиом и на этой основе строятся основные определения, утверждения и теоремы. Классический еще школьный пример – эвклидова геометрия.

Теория вероятности вплоть до 30-ых годов прошлого века не считалась точной математической наукой, пока Колмогоров не поставил ее на строгую аксиоматическую основу. Аксиоматическое определение вероятности включает в себя как частные случаи классическое и статистическое определения и преодолевает недостатки каждого

Дадим популярное истолкование σ – алгебры событий. Рассмотрим следующий опыт: подбрасывание пирамиды с неравными гранями (и следовательно с неравновозможными исходами).

Пространство элементарных исходов Ω={w₁, w₂, w₃, w₄}, {w₁}, {w₂}, {w₃},{w₄} – выпадает грань с таким то номером. Любое событие АΩ. Сколько всего событий может быть ?

1. События, включающие в себя только один исход. Подчеркнем, что они неравновозможны.

{w₁}, {w₂}, {w₃},{w₄}

2. События, включающие в себя по 2 исхода (например, номер грани – четный ).

{w₁, w₂}, {w₂, w₃}, {w₁, w₃},{w₂, w₄},{w₁, w₄},{w₃, w₄}.

3. События включающие в себя по 3 исхода (например, номер грани <4 ).

{w₁, w₂, w₃}, {w₁, w₂, w₄}, {w₂, w₃, w₄}, {w₁, w₃, w₄}.

4. Событие, включающее в себя 4 исхода (например, номер грани <10 ).

{w₁, w₂, w₃, w₄} – Ω. Это достоверное событие

5. Событие, не включающее в себя ни одного исхода (например, номер грани >10 ).Это невозможное событие .