4.7. Расчёт отношений мощностей сигнала и помехи, необходимых для обеспечения заданного качества приёма

Рассмотрим алгоритм оптимального приёма, обеспечивающий потенциальную помехоустойчивость выделения бинарного сигнала. Полагая априорные вероятности передачи единиц и нулей двоичного кода равными 0,5, можно записать [1,4]:

р_ош = 1 – Ф , (4.34)

где Ф (х) = – функция ("интеграл ошибок") Лапласа,

(4.35)

- отношение энергии сигнала Е_с = Р_с _и к спектральной плотности N₀/2 аддитивного "белого" шума;

 = (4.36)

- коэффициент взаимной корреляции сигналов, соответствующих передаче "единицы" и "нуля".

При использовании фазовой модуляции S₁ (t) = – S₂ (t), из (4.36) следует  = –1.

Тогда вероятность ошибочного приёма символа двоичного кода может быть найдена по формуле

р_ош = 1 – Ф (q) = Ф (–q). (4.37)

В случае ОФМ можно использовать формулу р_ош = 2 Ф (–q) [6].

При использовании частотной модуляции  = 0 и

р_ош = 1 – Ф (q / ) = Ф (–q/ ). (4.38)

В случае амплитудной модуляции S₂ (t) = 0 и, следовательно,  = 0, но в отличие от двух предыдущих случаев порог обнаружения сигнала S₁ (t) не является нулевым, и это обстоятельство приводит к проигрышу в мощности сигнала по сравнению с ЧМ в 2 раза:

р_ош = Ф (– 0,5 q). (4.39)

Зависимости вероятности ошибки от отношения мощностей сигнала и помехи приведены на рис. 4.2. Задаваясь значением вероятности ошибки, полученной из приближённого равенства (4.17), можно найти требуемое значение отношения q², обеспечивающее качество приёма при наилучшем способе.

Для нахождения отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи q² необходимо решить трансцендентное уравнение (4.34), что можно сделать с помощью таблиц функции Лапласа или графика, приведенного на рис. 4.2 для фазовой модуляции. Для частотной (ЧМ), амплитудной (АМ) или относительной фазовой (ОФМ) модуляций можно сделать пересчёт с помощью формул (4.37), (4.38) и (4.39). Кроме того, можно воспользоваться аппроксимацией функции Лапласа:

, (4.39а)

где р_ош – вероятность ошибки выделения элемента бинарного сообщения при фазовой модуляции.

Рисунок 4.2.- Зависимость вероятности ошибки выделения элемента дискретного сообщения при фазовой модуляции от отношения сигнал/шум

Заметим, что наилучший способ приёма – идеальный приёмник Котельникова – может быть реализован при сигнале, известном точно, за исключением, в данном случае, факта: какой из двух возможных сигналов, S₁ (t) или S₂ (t), присутствует на входе приёмника в данный момент времени. Помехоустойчивость приёмника, характеризуемая вероятностью ошибки, при известных сигналах определяется только отношением его энергии к спектральной плотности помехи. Поэтому применение сложных сигналов не может дать выигрыша помехоустойчивости при помехе в виде широкополосного шума и сигналах, известных точно. Однако применение сложных сигналов позволяет получить целый ряд других преимуществ – повышение помехоустойчивости по отношению к помехам от других подобных систем связи, при действии узкополосных помех, многолучевом распространении сигнала и т.п. Кроме того, использование сложного сигнала позволяет обеспечить надежную синхронизацию устройства восстановления аналогового сообщения по принятому цифровому сигналу.

Таким образом, студент должен выбрать два вида используемых сигналов с ФКМ – фазокодовой манипуляцией. Один сигнал должен быть использован для синхронизации, второй – для передачи информационных символов.

Необходимо выбрать тип кода (рекомендуется код Баркера или М-последовательность), его длину и конкретную реализацию – последовательность единиц и нулей. Длительность импульса теперь должна уменьшиться и стать

_ик = _и , (4.40)

где N – количество импульсов в фазоманипулированном коде, несущем один символ (единица или ноль) информационного кода (длина последовательности).

Следует рассчитать новое значение полосы пропускания приёмника, разработать структуру согласованного фильтра для каждого сигнала, убедиться, что использование сложного сигнала не изменит помехоустойчивости приёмника; при известном сигнале – рассчитать новое значение мощности шума и пиковой мощности сигнала в момент достижения его амплитудой максимального значения.

При неоптимальном приёме выражения для вероятностей ошибок зависят от конкретной схемы, реализующей различение символов двоичного кода дискретного сигнала. При рациональном построении устройств некогерентной обработки можно использовать следующие выражения для вероятностей ошибок [6]:

р_ош (4.41)

- при амплитудной модуляции сигнала,

р_ош (4.42)

- при частотной модуляции,

р_ош (4.43)

- при ОФМ.

В приведённых формулах считается, что априорные вероятности передачи единиц и нулей одинаковы

q² = Р_со / Р_ош = 2Р_со _ик / N₀ (4.44)

- отношение максимальной (пиковой) мощности сигнала к средней мощности помехи на выходе согласованного с ФКМ сигналом фильтра.

Применяя одну из приведённых формул, найти требуемое отношение q² для обеспечения заданного значения вероятности ошибки р_ош при некогерентной обработке и сравнить его с подобным отношением для оптимального приёма при известном сигнале. Определить проигрыш в энергии (мощности) сигнала, вызванной неизвестностью начальной фазы.