9. Електромагнітна взаємодія. Мікроскопічні та макроскопічні рівняння електродинаміки.

Електромагні́тна взаємоді́я — найбільш досліджена з чотирьох фундаментальних фізичних взаємодій, адже нею зумовлено більшість явищ у світі, які оточують людину. Електромагнітна взаємодія відповідає за притягання електронів до ядер атомів, а тому відповідає за формування атомів та молекул і за їхні властивості. Проявом електромагнітної взаємодії є також світло — потік фотонів.

Основними рівняннями електромагнетизму є рівняння Максвелла. Поширюється у формі електромагнітного поля, що складається з векторних безмасових квантів — фотонів. Завдяки нульовій масі фотонів взаємодія є далекодійною; прикладом електромагнітної взаємодії на великій відстані є прийом випромінювання галактик і квазарів на відстанях у мільярди світлових років. В електромагнітній взаємодії беруть участь кварки і лептони, що мають електричний заряд, натомість вона не впливає на нейтральні частинки нейтрино[1].

Мікроскопічний та макроскопічний підхід в електродинаміці. Мікроскопічний підхід оперує з якомога точними значеннями величин, що характеризують електромагнітні взаємодії з врахуванням будови речовини і в цьому розумінні він є найбільш повним та послідовним. Але використання мікроскопічного підходу не завжди доцільно. Приклад такої ситуації – попереднє обговорення формули (1.1.4). У макроскопічних вимірюваннях амперметр вимірює усереднене значення сили струму, і тут можна не зважати на дискретну будову електрики. Це дає змогу застосовувати відповідну математичну модель процесу вимірювання, яка працює з гладкими функціями Is(t) та q(t) в (1.1.4). Якщо треба охарактеризувати нерівномірність розподілу зарядів в об’ємі, можна також використовувати ідеалізацію, коли вводиться густина заряду, яка є неперервною функцією координат. Це можливо, якщо кожна ділянка цього об’єму, де виконують вимірювання, містить досить 8 велику кількість елементарних зарядів. Далі під макроскопічними величинами будемо розуміти такі, що отримані внаслідок деякого усереднення – за часом або у деяких просторових масштабах. З одного боку макроскопічний підхід пов’язаний з можливостями конкретного фізичного експерименту, в якому мікробудова може бути несуттєвою, з іншого боку, застосування неперервних розподілів дає змогу застосувати апарат математичного аналізу для опису явищ

10. Електромагнітні хвилі. Хвильове рівняння. Плоскі та сферичні хвилі. Поляризація електромагнітних хвиль. Стоячі хвилі.

Електромагні́тна хви́ля — процес розповсюдження електромагнітної взаємодії в просторі у вигляді змінних зв'язаних між собою електричного та магнітного полів. Прикладами електромагнітних хвиль є світло, радіохвилі, рентгенівські промені, гамма-промені.

Для одержання хвильових рівнянь електромагнітних хвиль, розв’язком яких є рівняння (6), скористаємось рівняннями Максвелла.

Рис. 4

Розглянемо замкнутий контур в системі координат Е_z,o,x , сторони якого відповідно дорівнюють і Δх. Запишемо для цього замкнутого контуру рівняння Максвелла (1)

(7)

Оскільки ліві сторони рівнянь (7) відповідають рівнянню Максвелла (1), то праві сторони цих рівнянь можна прирівняти. Після незначних спрощень одержуємо

. (8)

В граничному випадку, коли рівняння (8) набуде вигляду

де – , зв’язок індукції магнітного поля з напруженістю цього поля. З урахуванням цього зауваження формула (8) набуде вигляду

(6.9)

Рівняння Максвелла (3) використаємо до замкнутого контуру в координатній площині Н_y,o,x (рис.4), вважаючи що вільні електричні заряди відсутні, а тому струм провідності jdS = 0

(10)

Оскільки ліві сторони рівнянь (10) однакові, то й праві сторони однакові. Прирівняємо праві сторони цих рівнянь, одержимо

В граничному випадку, коли , одержимо

(11)

Оскільки , то рівняння (11) набуде вигляду

. (12)

Продиференціюємо рівняння (12) по координаті х, одержимо

(13)

Замість виразу в душках правої сторони рівняння (13) підставимо його значення з рівняння (9), одержимо

. (14)

Продиференціюємо по координаті х рівняння (9)

(15)

Похідну в душках правої сторони рівняння (15) замінимо на відповідну похідну з рівняння (12), одержимо

(16)

З рівнянь (14) і (16) шляхом незначних перетворень одержуємо хвильові рівняння електромагнітних хвиль

(17)

Аналогічні до (17) хвильові рівняння можна одержати, якщо кожне з рівнянь (6) двічі диференціювати за часом і координатою і виключити з них функцію косинуса, тобто

Звідки, врахувавши що , одержуємо

(18)

Аналогічно диференціюємо друге рівняння (6) й після незначних спрощень одержуємо

(19)

Співставлення рівнянь (18) і (19) з рівняннями (17) дає можливість визначити швидкість поширення електромагнітних хвиль

(20)

Якщо врахувати, що для вакууму ε =1 і μ = 1, то швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі буде дорівнювати

(21)

Одержане значення швидкості поширення електромагнітних хвиль у вакуумі добре збігається з швидкістю поширення світла. В діелектричному середовищі (крім феромагнетиків) швидкість поширення електромагнітних хвиль менша на , тобто

(22)

Для світлових хвиль, які можуть поширюватись в прозорих діелектричних середовищах, величину називають показником заломлення і позначають через n, тому

(23)

Плоска хвиля– це хвиля, для якої хвильові поверхні являють собою сукупність паралельних площин, перпендикулярних напряму розповсюдження хвилі.

Сферична хвиля– це хвиля, для якої хвильові поверхні являють собою сукупність паралельних концентричних сфер, перпендикулярних напряму розповсюдження хвилі.

Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується уздовж позитивного напряму осіх, має такий вид:

_,

де позначено: – зміщення точок середовища з координатоюху момент часу;А– амплітуда хвилі;– циклічна (кругова) частота;– хвильове число;– довжина хвилі;– фазова швидкість;– період коливань;– початкова фаза коливань.

Розглянемо поняття фазової швидкості. Щоб визначити це поняття, припустимо, що фаза хвилі постійна, тобто

і продиференціюємо цей вираз по t. Тоді отримаємо

,

де v є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, яку називають фазовою швидкістю.

Зазначимо, що з виразу для хвильового числа , що фазова швидкість. Якщо фазова швидкість хвиль в середовищі залежить від частоти, то це явище називаютьдисперсією хвиль, а середовище, в якому спостерігається дисперсія хвиль,диспергуючим середовищем.

Рівняння сферичної хвилімає вид:

,

де – відстань від центру хвилі до даної точки середовища.

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі, тобто хвилі, що утворюються при накладенні двох біжучих хвиль, що розповсюджуються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами, а у разі поперечних хвиль – і однаковою поляризацией.

Нехай дві плоскі хвилі розповсюджуються назустріч одна одній уздовж осі х в середовищі без загасання, причому обидві хвилі характеризуються однаковими амплітудами і частотами. Крім того, початок координат виберемо в точці, в якій обидві хвилі мають однакову початкову фазу, а відлік часу почнемо з моменту, коли початкові фази обох хвиль дорівнюють нулю. Тоді відповідно рівняння хвилі, що розповсюджується уздовж позитивного напряму осі х, і хвилі, що розповсюджується їй назустріч, матимуть вигляд

Склавши ці рівняння і врахувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі:

,

з якого витікає, що в кожній точці цієї хвилі відбуваються коливання тієї ж самої частоти з амплітудою, яка залежить від координатих точки, що розглядається.

В точках середовища, де

амплітуда результуючого коливання досягає свого максимального значення, якедорівнює .

В точках середовища, де

амплітуда результуючого коливання дорівнює нулю.

Зазначимо, що точки, в яких амплітуда коливань максимальна , називаютьсяпучностями стоячої хвилі, а точки, в яких амплітуда коливань дорівнює нулю , називаютьсявузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться в вузлах, не коливаються.

Координати пучностей та координати вузлів неважко отримати з двох останніх виразів:

З цих виразів витікає, що відстань пучність – пучність дорівнює , а відстань пучність – вузол дорівнює.

Поляризація електромагнітної хвилі або поляризація світла — просторова орієнтація електричної складової частини електромагнітної хвилі — вектора напруженості електричного поля.

Електромагнітні хвилі, залежно від виду поляризації, поділяють на:

• неполяризовані

• лінійно поляризовані

• циклічно поляризовані

• еліптично поляризовані