8. Нерівноважні процеси в системі багатьох частинок. Одночастинкова функція розподілу. Кінетичне рівняння Больцмана
Рівняння Больцмана або кінетичне рівняння Больцмана — рівняння, що описує еволюцію розподілу частинок нерівноважної термодинамічної системи в просторі координат та за швидкостями.
Одночастинкова функцiя розподiлу є розв’язком кiнетичного рiвняння Больцмана з початковими кореляцiями.
Людвіг Больцман запропонував це рівняння для опису нерівноважних газів, але воно стало широко вживатися й для електронного газу твердих тіл, оскільки дозволяє легко врахувати особливості квантової статистики Фермі — Дірака. Для просторово неоднорідної системи рівняння Больцмана дозволяє розраховувати процеси дифузії частинок. Для системи у зовнішніх полях рівняння Больцмана дозволяє визначити баланс між прискоренням частинок полями й дисипацією їхньої енергії під час зіткнень.
Для
опису нерівноважної термодинамічної
системи вводиться залежна від часу t,
просторових координат r й швидкості
частинок v функція розподілу
яка
з
адає
ймовірність того, що частинка в момент
часу t матиме перебуватиме в кубі з
вершиною в точці r і стороною
,
а її швидкість буде в діапазоні від v
до
.
Для цієї функції справедливе рівняння:
де m — маса частинок, F — сума зовнішніх сил, які діють на ці частинки.
Зміна функції розподілу, тобто ймовірності того, що частинка перебуватиме в околі певної точки й матиме певну швидкість, відбувається:
завдяки вильоту частинки із об'єму;
завдяки прискоренню чи сповільненню, викликаному дією зовнішніх сил;
завдяки зіткненню із іншими частинками.
Член
в правій частині рівняння Больцмана
описує зміну функції розподілу при
зіткненнях і називається інтергралом
зіткнень. При цьому детальна механіка
розсіювання частинок не розглядається.
Вважається, що при розсіюванні частинки
миттєво міняють свої швидкості.
Рівняння Больцмана справедливе для полів, які не дуже швидко міняються в просторі. Вважається, що кожен елементрарний об'ємчик досить великий, щоб для нього можна було ввести функцію розподілу, але малий в порівнянні із характерною довжиною зміни зовнішніх полів.
Рівняння Больцмана нехтує узгодженим рухом частинок. Його справедливість обмежена газами, в яких зіткнення відбуваються не дуже часто. В випадку більших густин частинок застосовуються складніші рівняння, наприклад рівняння ББГКІ.
Зіткнення
між частинками призводить до зміни
їхніх швидкостей. Якщо
задає
імовірність розсіювання частинки із
стану зі швидкістю
у стан зі швидкістю
,
то інтеграл зіткнень для класичних
частинок записується у вигляді:
.
У випадку квантового характеру статистики частинок цей вираз ускладнюється неможливістю двох частинок перебувати в стані з однаковими квантовими числами, а тому потрібно враховувати неможливість розсіювання в зайняті стани.
Рівняння Больцмана — складне інтегродиференціальне рівняння в часткових похідних. Окрім того, інтеграл зіткнень залежить від конкретної системи, від типу взаємодії між частинками та інших факторів. Знаходження загальних характеристик нерівноважних процесів — непроста справа.
Однак, відомо, що в стані термодинамічної рівноваги інтеграл зіткнень дорівнює нулю. Справді, в стані рівноваги в однорідній системі при відсутності зовнішніх полів усі похідні в лівій частині рівняння Больцмана дорівнюють нулю, тож інтеграл зіткнень теж повинен дорівнювати нулю.
При малих відхиленнях від рівноваги функцію розподілу можна подати у вигляді
,
де
—
рівноважна функція розподілу, що залежить
лише від швидкосте й частинок і відома
з термодинаміки, а
— невелике відхилення.
В
цьому випадку можна розкласти інтеграл
зіт кнень у ряд Тейлора віднос но функції
,
і записати його у вигляді:
,
де τ — час релаксації. Таке наближення називається наближенням часу релаксації (або τ-наближенням).
Час релаксації, який входить у рівняння Больцмана залежить від швидкості частинок, а отже енергії. Час релаксації можна розрахувати для конкретної системи із конкретним процесами розсіювання частинок.
Рівняння Больцмана в наближенні часу релаксації записується у вигляді
.