Өлшемдік формулалар

Бұдан бұрыңғы параграфтарда оқылған материалдар физикалық шамалардың өлшемділігі және өлшемділік формалалары туралы мәселе қоюға мүмкіншілік береді.

Осыған дейін біз бір физикалық шаманы өлшеу үшін бірлік тағайындағанда сол шаманың бұрыннан өлшеу бірліктері мәлім басқа шамалармен заңды байланысына сүйеніп тағайындадық, сонда тиісті формуладағы пропорционалдық коэффициентін бірге тең деп ұйғарып отырдық. Осылайша, бірліктердің белгілі системасы тағайындалды, ол негізгі шамаларды және олардың өлшеу бірліктерін бір жүйемен сайлап алуға байланысты болды. Мысалы, CGS системасында негізгі физикалық шамалар ретінде ұзындық, уақыт және масса алынған, олардың өлшеу бірліктері болып, өз ретінше сантиметр, секунд және грамм тағайындалған; ал басқа негізгі шамаларды сайлап алу туралы 3-параграфта айтқан болатынбыз.

Негізгі физикалық шамаларды белгілі тәртіппен сайлап алу түрліше болуы мүмкін, солай болғанда, туынды бірліктердің негізгі шамалардың бірліктерімен тәуелділігі қандай деген сұрақ туады. Негізгі шамалар ретінде ұзындық, уақыт және масса алынған системаларға тоқталайық, олар өлшенетін бірліктерді, өз ретінше L,T және M әріптерімен белгілейік.

Егер А туынды бірлігі L ұзындығы бірлігінің р-інші дәрежесәне, М массасы бірлігінің г-інші дәрежесіне пропорционал болып өзгерсе, онда былай деп айтылады. А бірлігінің ұзындық бірлігіне қатысты өлшемділігі р, масса бірлігіне қатысты өлшемділігі q және уақыт бірлігіне қатысты өлшемділігі r болады дейді.А бірлігінің негізгі шамалар бірліктеріне осындай тәуелділігін символдық формуламен( өлшемділік формуласымен) өрнектеледі:

=L

Мысалы, егер белгілі бір А бірлігі үшін өлшемділік формуласына мына түрде болса:

немесе, бәрібір, былай жазылса,

,

Сонда бұл берілген А туынды бірлігі масса бірлігіне тура пропорционал және ұзындық бірлігінің квадратына тура пропорционал, ал уақыт бірлігінің квадратына кері пропорционал болып өзгереді деген сөз болады. Мысалы, біз егер масса бірлігін 1000есе және уақыт бірлігін 60 есе ұлғайтсақ, сонда қарастырылып отырған А туынды бірлігі есе, яғни есе, ұлғаяды.

Егер туынды бірлік негізгі бірліктердің ешқайсысына тіпті тәуелді болмаса, онда оның осы негізгі бірлікке қатысты өлшемділігі ноль деп айтылады.

Физикалық шамалардың өлшемділігін білудің маңызы зор, өйткені ол ненгізгі шамалардың өлшеу бірліктері өзгергенде берілген физикалық шаманың өлшеу бірлігі қалай өзгеретіндігін тез есептеп беруге мүмкіндік береді, сонымен қатар шамалардың өлшемділіктерін салыстыру есептің дұрыс шығарылуын бақылауға жағдай жасайды. Бұлай бақылау ең алдымен мынадай даусыз қағидаға негізделген: тек өлшемділігі бірдей шамаларды ғана қосуға, азайтуға және теңдік белгісімен жалғастыруға болады.

Дұрысында, мысалы, массаны бір ұзындыұпен қосуға болмайды немесе бір фигураның ауданы бір кесіндінің ұзындығына тең бола алады деп айтуға болмайды т.т.

Тағы айта кетейік, дәреженің көрсеткіші тек сан ғана, яғни өлшемділігі жоқ шама ғана бола алады.

Өзімізге мәлім бір қатар физикалық шамалардың өлшемділігін анықтайық.

Жылдамдықтың өлшемділігі: мына теңдігіне қарағанда жылдамдық бірлігі ұзындық бірлігіне тура пропорционал және уақыт бірлігіне кері пропорционал болып өзгереді, осыдан келіп:

Үдеудуң өлшемділігі: теңдігіне қарағанда ол мынадай болады:

Күштің өлшемділігі:мына теңдігі бойынша және үдеудің мәлім өлшемділігін пайдаланғанда:

Жұмыстың өлшемділігі: теңдігі бойынша, ол мынадай болады:

Энергияның да өлшемділігі дәл осындай болады.

Қуаттың өлшемділігі: теңдігі бойынша, ол мынадай болады:

Алайда, өлшеу бірліктері ұзындықтың, уақыттың және массаның бірліктеріне тәуелді емес физикалық шамалар да бар. Мысалы, бұрыш, ол доғаның ұзындығының радиус ұзындығына қатысымен өлшенеді, оның барлық үш ненгізгі бірліктеріне қатысты өлшемділігі ноль болады. Бұрыштың өлшеу бірлігі етіп, ұзындығы радиусқа тең доғаны керіп тұрған центрлік бұрыш алынады; бұрыштың бұл өлшеу бірлігі радиан деп аталады, ол барлық системада бірдей болады. Бірақ, радианмен қатар бұрышты градуспен де өлшейді; бұл жағдайда бұрыштың бірлігі етіп, ұзындығы толық шеңбердің ұзындығының үлесіне тең доғаны керіп тұрған центрлік бұрыш алынған. Сондықтан бір мәнді болу үшін өлшемдік формуласына бұрыш бірлігі символын да енгізуге болады. Ол символды Ф әріпімен белгілейміз. Жоғарыда келтірілген шамалардың (жылдамдықтың, үдеудің, күштің т.т. ) өлшемдік формулаларына оның енбеуі керек, өйткені бұл шамалардың барлығының бұрышқа қатысты өлшемділігі нолге тең. Егер біз бұрыштық жылдамдығының өлшемділігін жазбақ болсақ, онда бұған Ф символын енгізуге болады, өйткені бұрыштық жылдамдықтың бірлігі бұрышты өлшеу үшін қандай бірлік пен пайдаланып отырмыз соған байланысты болады; сонымен:

Алайда келісім бойынша әдетте өлшемділікті ұзындық, уақыт және масса бірліктеріне қатысты көрсетеді, сонда

Осылайша бұрыштық үдеу өлшемділігін мынаған тең болады:

Егер алдын ала заңдылықтың жуық түрі мәлім болса, шамалардың өлшемділіктерін қарастыра отырып, кейде заңдылықтың дәл сипатын көрсетуге болады. Мысалы, жер бетіне таяу биіктіктен еркін түскен тастың алатын жылдамдығы, түсу биіктігі және ауырлық күшінің үдеуі неғұрлым зор болса, соғұрлым зор болуы керек, деп жору табиғи нәрсе.

Сонымен, -нің мәні және дәрежесіндегі және h-қа роппорционал болу керек деп ұйғарсақ , былай жазамыз:

мұндағы -сан коэффициент. Жылдамдықтың өлшемділігі , олай болса өлшемділігі де осындай болуы керек. Ал, . Бұған қарағанда екі өрнекті уақыттың өлшемділігі бірдей болу үшін юолған кезде де -ге тең болуы керек. Өйткені олай болмаса ұзындық өлшемділіктері дәл келмейді. Осыған қарағанда теңдік белгісімен байланыстырылған шамалардың өлшемділіктері бірдей болуы керек деген талап болғанда ғана орындалады, яғни

Шындығына келгенде, бір қалыпты үдемелі қозғалыстың үдемелі қозғалыстың формуласынан мынаны табамыз:

Лекция №20