3.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки

− равнодействующая,

Декартова система координат:

Естественная система координат:

В торое уравнение можно преобразовать:

Получаем для естественной системы координат:

Первая (прямая) задача динамики точки: зная массу точки и ее закон движения, можно найти действующую на точку силу.

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить мо­дуль силы и косинусы углов силы с осями координат.

Пример. Закон движения точки x = aCoskt; y = bSinkt, массы точки m. Определить траекторию и силу, под действием которой происхо­дит движение.

Уравнение траектории:

− эллипс с полуосями a, b

F_x= − mk²aCoskt; F_y= − mk²bSinkt или F_x= − mk²x; F_y= − mk²y;

(r − радиус−вектор точки).

Косинусы углов силы F с осями координат:

О тсюда можно заключить, что сила F имеет направление, проти­воположное вектору r.

Окончательно .

3.4 Основные виды прямолинейного движения точки. Криволинейное движение

Д ифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Ох имеет вид:

если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости. Начальные условия задаются в форме:

t=0; x=x₀, v_x=v₀.

Наиболее важные случаи прямолинейного движения точки полу­чаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от вре­мени, координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, то имеем случай равнопеременного движения, то есть движения с посто­янным ускорением. Сила зависит от времени обычно, когда ее изме­няют путем прямого регулирования. Силу, зависящую от координаты, создает сжатая пружина или центр тяготения. Силы, зависящие от скорости, чаще всего являются силами сопротивления.

Пример 1. Точка массы m движется под действием постоянной силы F с начальной скоростью v₀. (t=0, x=0, v_x=v₀):

используя начальные условия получаем С₁=v₀

и з начальных условий определяем С₂=0 и в результате закон движе­ния точки имеет вид:

Пример 2. Точка массы m движется из начального положения по­коя под действием переменной силы F = kSinωt. Начальные условия t=0, x=0, v_x=0. (рис. 37)

Рис. 37

Из начальных условий определим

(t=0 C₂=0)

Получаем, что тело двигается равномерно с постоянной скоро­стью вправо и на это движение будет накладываться периодическое "модулирующее" движение. Заметим, что составляющей "дрейфа" не было бы, если бы начальные условия имели вид:

Пример 3. Точка массы m брошена вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v₀ и движется под действием силы тяго­тения (Рис. 38). Начальные условия: t=0, x=R₃, v=v₀;

Имеем дифференциальное уравнение:

Рис. 38

И спользуя подстановку получаем уравнение

Разделяем переменные и берем интегралы:

или откуда

(*)

Для определения x_max (максимальная высота подъема), положим v=0, тогда

и при ,

это выполняется для v₀=11.2 км/с (вторая космическая скорость).

Полученную зависимость (*) скорости точки от высоты подъема можно использовать для определения закона движения (x=f(t)), разде­лив еще раз переменные и проведя интегрирование.